Некоторая форма k в уравнении Морделла y^2=x^3+k

[juna]

Найдите условие, при котором диофантово уравнение $y^2=x^3+k$ не имеет решений в целых числах для всех $k=(4n-1)^3-4m^2$.
(подобный вопрос был поставлен здесь)

[maxal]

Вопрос поставлен некорректно. Наверное, имеется в виду:

"Каким условиям должны удовлетворять целые числа $m$ и $n,$ чтобы диофантово уравнение $y^2=x^3+k,$ где $k=(4n-1)^3-4m^2,$ не имело решений в целых числах."

Так?

[juna]

Пусть так. При этом имеется бесконечное множество $k$.

[Руст]

Для этого надо привести к виду u^3+v^3=mt^3, m=m(k)$. В этой форме легче всего определить наличие целых решений.

[juna]

На самом деле, имеется очень простой ответ с элементарным доказательством.

[juna]

Подскажу. Тем более что действительно формулировка неконкретная (хотелось немного усложнить).
Указанная форма для $k$ дает бесконечное множество значений, при которых диофантово уравнение неразрешимо в целых числах, если $m$ в своем разложении на простые не содержит ни одного простого вида $4\cdot l+3$. Осталось это доказать.

[juna]

Видимо интерес к теме не появился. Тогда закрою тему, дав данное доказательство.

Теорема. Диофантово уравнение $y^2=x^3+k$ не имеет решений в целых числах, если $k$ имеет форму $k=(4n-1)^3-4m^2$, где $n$ - любое целое число, а $m$ - любое целое число, не имеющее ни одного простого делителя $p\equiv -1 \mod 4$.

Доказательство. Имеем $k\equiv -1 \mod 4$, поэтому $y^2\equiv x^3-1 \mod 4$.
Известно, что $\forall y \in \mathbb Z : y^2\equiv 0,1 \mod 4$, поэтому может быть только $x\equiv 1 \mod 4$, т.е. $y^2\equiv 0 \mod 4$.
Имеем $y^2+4m^2=x^3+(4n-1)^3=(x+(4n-1))\cdot(x^2-(4n-1)x+(4n-1)^2)$.
Рассмотрим $(x^2-(4n-1)x+(4n-1)^2)$. Поскольку $x\equiv 1 \mod 4$, $(4n-1)\equiv -1 \mod 4$, то $(x^2-(4n-1)x+(4n-1)^2)\equiv 3 \mod 4$ или $(x^2-(4n-1)x+(4n-1)^2)\equiv -1 \mod 4$, значит у $x^2-(4n-1)x+(4n-1)^2$ имеется простой множитель вида $p\equiv -1 \mod 4$ и соответственно этот множитель есть и у $y^2+4m^2$. Последнее означает разрешимость сравнения $y^2\equiv -4m^2 \mod p$ при $p\equiv -1 \mod 4$, $p \not |m$. Т.е. $-4m^2$ - квадратичный вычет по модулю этого простого $p=4\cdot l-1$. Но символ Лежандра $(\frac{-4m^2}{p})=-1$, т.к. $(-1)^{\frac{p-1}{2}}=(-1)^{\frac{4l-1-1}{2}}=-1$ - квадратичный невычет. Получили противоречие. ч.т.д.
P.S. Данное утверждение и его доказательство я встретил в книге Apostol T.M. Introduction to analytic number theory.

[maxal]

Тут интересная статеечка всплыла:

Tatiana Lavrinenko "Solving an indeterminate third degree equation in rational numbers. Sylvester and Lucas"
http://rapidshare.com/files/21177684/sm ... 1.zip.html

[juna]

Спасибо, почитаю. Но на первый взгляд, что-то слишком много истории.