Найти все решения системы уравнений

[Mopo]

Помогите пожалуйста разобраться, дана система вот такая:
$ \left\{ \begin{array}{l} x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=55,\\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=55 \end{array} \right. $, необходимо доказать/опровергнуть единственность решения $(1;2;3;4;5)$
Есть решение, основанное на введении 5-мерных векторов, но возникают сомнения_( помогите пожалуйста, как можно еще определить количество решений. . .

[Lion]

Первое уравнение задает в 5-мерном пространстве сферу, а второе --- плоскость. Решение будет единственным, только если плоскость касается сферы в точке (1,2,3,4,5). Ну а это проверить уже просто.

[Brukvalub]

Если считать известным легко доказываемое неравенство:

\[ \sum\limits_{i = 1}^n {a_i b_i } \le \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2 } } \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^2 } } \]

и ввести новые переменные

\[ t_i = \frac{{x_i }}{{\sqrt {55} }} \]

то единственность решения очевидна.

[Mopo]

а алгебраически можно доказать? [я еще в школе учусь, и мне трудно даже проверить касается ли плоскость сферы в этой точке, или нет ]

Добавлено спустя 3 минуты 51 секунду:

спасибо большое!

[Руст]

Можно решить школьными методами. Просто надо вычесть из первого второе умноженное на два. Тогда получим $(x_1-1)^2+(x_2-2)^2+(x_3-3)^2+(x_4-4)^2+(x_5-5)^2=0.$

[Mopo]

ребята, всем большущее спасибо!

[Mopo]

появился еще один вопрос по заданиям подобного рода!
задание такого:
Даны две системы уравнений:
$ \left\{ \begin{array}{l} x_1^2+y_1^2+z_1^2+v_1^2=21,\\ (2-a)x_1+(4-a)y_1+(6-a)z_1+(8-a)v_1=2\sqrt{21(a^2-6a+14)}; \end{array} \right. $ и $ \left\{ \begin{array}{l} x_2^2+y_2^2+z_2^2+v_2^2=41,\\ (3+a)x_2+(5+a)y_2+(7+a)z_2+(9+a)v_2=2\sqrt{41(a^2+12a+41)}; \end{array} \right. $
Необходимо найти значение параметра $a$ при котором выражение $(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2+(z_1+z_2)^2+(v_1+v_2)^2$ принимает максимальное значение. Найти это максимальное значение.
Я нашел решение через 4-мерные векторы (в первом случае координаты $(x_1;y_1;z_1;v_1)$, во втором - $(x_2;y_2;z_2;v_2)$ и очевидные функции параметра). получился ответ $a=-0,5; A=(\sqrt {21}+\sqrt {41})^2$. А - искомое макс. значение. Вроде решение правдоподобно, но мне как то боязно... подскажите - правильно ли?

[Brukvalub]

В правой части второго уравнения первой системы нет опечаток?

[Mopo]

есть!!!!! люблю таких людей - которые не то, что ответы знают, так они еще и ошибки в заданиях находят!
должно быть так:
$ \left\{ \begin{array}{l} x_1^2+y_1^2+z_1^2+v_1^2=21,\\ (2-a)x_1+(4-a)y_1+(6-a)z_1+(8-a)v_1=2\sqrt{21(a^2-10a+30)}; \end{array} \right. $
точно скажу что второе уравнение представляется как скалярное произведение, причем косинус единице равен_)

[Brukvalub]

Тогда Вы дали правильный ответ.