Численные методы. Построение многочлена Лагранжа.

[nemoart]

Доброго времени суток!

Задача по численным методам.

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции $f\left( x \right) = \left| x \right| $ по узлам -1, 0, 1.

Получается что $ L_{2}\left( x \right) = x^{2}$

Вопрос 1: Разве не должен полином Лагранжа быть той же степени, что и функция, если она является полином равной или меньшей чем N степени? Ведь "модуль" по сути это полином 1 степени.

По теоритическим расчетам погрешности так же вопрос:
в формуле $\left| f\left( x \right) - L_{N}\left( x \right) \right| \leq \frac {M_{N+1}} {(N+1)!}\left| w_{N}\left( x \right) \right| $ получаем что N+1 производная равна 0 везде.
Но ведь понятно, что у $\left| x \right| $ и $x^2$ есть погрешность.


Главный вопрос:
Разумно ли разбить на два интервала $ [-1;0], [0;1]$ и строить на каждом $ L_{1}\left( x \right) $?

[nnosipov]

nemoart в сообщении #583936 писал(а):

Ведь "модуль" по сути это полином 1 степени.

Это по какой такой сути? Не выдумывайте, $|x|$ не является полиномом.

[ewert]

nemoart в сообщении #583936 писал(а):

Ведь "модуль" по сути это полином 1 степени.

Нет.

nemoart в сообщении #583936 писал(а):

в формуле $\left| f\left( x \right) - L_{N}\left( x \right) \right| \leq \frac {M_{N+1}} {(N+1)!}\left| w_{N}\left( x \right) \right| $ получаем что N+1 производная равна 0 везде.

Для справедливости этой оценки нужно, чтобы существовала и была ограничена соответствующая производная. а у модуля даже второй-то производной нет, не говоря уж о третьей.

[nemoart]

nnosipov в сообщении #583937 писал(а):

nemoart в сообщении #583936 писал(а):

Ведь "модуль" по сути это полином 1 степени.

Это по какой такой сути? Не выдумывайте, $|x|$ не является полиномом.

Хорошо, положим полином Лагранжа построен правильно...

Что не так тогда с оценкой погрешности?

-- Вт июн 12, 2012 18:18:39 --

ewert в сообщении #583938 писал(а):

nemoart в сообщении #583936 писал(а):

Ведь "модуль" по сути это полином 1 степени.

Нет.

nemoart в сообщении #583936 писал(а):

в формуле $\left| f\left( x \right) - L_{N}\left( x \right) \right| \leq \frac {M_{N+1}} {(N+1)!}\left| w_{N}\left( x \right) \right| $ получаем что N+1 производная равна 0 везде.

Для справедливости этой оценки нужно, чтобы существовала и была ограничена соответствующая производная. а у модуля даже второй-то производной нет, не говоря уж о третьей.

Как мне в таком случае оценивать погрешность?

[ewert]

nemoart в сообщении #583941 писал(а):

Как мне в таком случае оценивать погрешность?

Никак. Т.е. в такой постановке задачи -- совсем никак. А чтобы в этом убедиться -- достаточно просто попытаться прочитать ту формулу. Что это, собственно, такое: "$M_{N+1}$" ?...

[nemoart]

ewert в сообщении #584053 писал(а):

nemoart в сообщении #583941 писал(а):

Как мне в таком случае оценивать погрешность?

Никак. Т.е. в такой постановке задачи -- совсем никак. А чтобы в этом убедиться -- достаточно просто попытаться прочитать ту формулу. Что это, собственно, такое: "$M_{N+1}$" ?...

$ \sup_{x} \left| f^{\left(N+1\right)} \left( x \right)\right| $ -- N+1 производная от заданной функции. Сейчас я понимаю, что для выполнения неравенства мы требуем от $f\left( x\right)$ принадлежность классу функций $C^{N+1}$.
Я могу сказать про локальную погрешность в любой точке. Но получается что про теоритеческую оценку максимальной погрешности ничего сказать нельзя? И на этом можно прекращать поиски вариантов?

[ewert]

nemoart в сообщении #584076 писал(а):

Я могу сказать про локальную погрешность в любой точке. Но получается что про теоритеческую оценку максимальной погрешности ничего сказать нельзя?

Это бессмысленно. Про локальную погрешность в любой точке сказать в принципе ничего не возможно. И наоборот: про максимальную погрешность сказать очень даже можно, пусть и не вполне конкретно.

Истчо раз: попытайтесь осознать ту формулку.