Два уравнения

[nnosipov]

Следующие уравнения нужно решить в натуральных числах:
1. $x^6+x^3y-y^3-y^2=0$;
2. $x^6+x^3y-y^3-y^2=1$.
P.S. Оба решаются элементарными средствами, но хотелось бы выяснить, насколько просто.

[DjD USB]

Моя попытка решения первого уравнения:
Разделим обе части на $y^2$ и сделаем замену, $\frac{x^3}{y}=t$ Тогда, $t^2+t-y-1=0$. $D=1+4y+4=4y+5=k^2$ .На этом я остановился.

[Tanechka]

Заменяем $t=x^3$, получаем квадратное уравнение. Далее решаем уравнение относительно $t$. Потом корень из дискриминанта обозначаем буковкой (я обозначил $a$) и выражаем через неё $y$. Получим, что $(1-a)(a+1)^2$ должен являться положительным кубом натурального числа. Учитывая, что ещё есть условие, что $a>0$ и оно целое, нетрудно уже и найти все такие значения .

[nnosipov]

Tanechka в сообщении #583823 писал(а):

Потом корень из дискриминанта обозначаем буковкой (я обозначил $a$) и выражаем через неё $y$. Получим, что $(1-a)(a+1)^2$ должен являться положительным кубом натурального числа.

Можно поподробнее?

[DjD USB]

Tanechka в сообщении #583823 писал(а):

Заменяем $t=x^3$, получаем квадратное уравнение. Далее решаем уравнение относительно $t$. Потом корень из дискриминанта обозначаем буковкой (я обозначил $a$) и выражаем через неё $y$. Получим, что $(1-a)(a+1)^2$ должен являться положительным кубом натурального числа. Учитывая, что ещё есть условие, что $a>0$ и оно целое, нетрудно уже и найти все такие значения .

Разве, это сам корень уравнения должен являться кубом,а не дискриминант

[temp03]

DjD USB в сообщении #583817 писал(а):

$D=1+4y+4=4y+5=k^2$ .На этом я остановился.

Обратная параметризация: $y=\dfrac{k^2-5}{4}$. Откуда подходят все нечётные $k=2p+1$ и
$y=p^2+p-1$ для любых натуральных $p$.
Тогда $t=p$ или $\dfrac{x^3}{p^2+p-1}=p$. Т.е. решение
$\begin{cases} y=p^2+p-1 \\x^3=p(p^2+p-1) \end{cases}$
Откуда $p=a^3$, $p^2+p-1=b^3$
Или $a^3(a^3+1)=b^3+1$. Единственное решение $a=b=1$.

$p=1$, $x=1$, $y=1$

-- Вт июн 12, 2012 15:56:53 --

Во втором очевидные решения $x=\pm1$, $y=0$. Судя по всему других нет, рассуждение наверное типа как в первом случае....

А вот если будет:
3. $x^6+x^3y-y^3-y^2=173$.

[DjD USB]

Откуда $p=a^3$, $p^2+p-1=b^3$
Или $a^3(a^3+1)=b^3+1$. Единственное решение $a=b=1$.

$p=1$, $x=1$, $y=1$
Я не понял перехода.Обьясните

[nnosipov]

temp03
Окей, хотя выше у Tanechka как-то совсем коротко получилось. Подождём подробностей, а пока можно заняться 2-м уравнением.

[temp03]

блин... ну $x^3=p(p^2+p-1)$ откуда в правой части взаимно простые числа. Т.е. кубы.
Дальше арифметика: $p^2+p-1=b^3$ единицу вправо, а $p$ меняем на $a^3$.Из невозможности $(b^3+1)\div a^3$ следует, что $a=1$. Тут надо по-другому подлиннее доказывать невозможность $a^3(a^3+1)=b^3+1$, кроме как $a=b=1$.

[nnosipov]

temp03 в сообщении #583836 писал(а):

А вот если будет:
3. $x^6+x^3y-y^3-y^2=173$.

Это тоже не так страшно как кажется. Отличается от 2. только техническими деталями.

[temp03]

nnosipov в сообщении #583848 писал(а):

Подождём подробностей, а пока можно заняться 2-м уравнением.

а вот второе сложновато, но должна быть какая-то хитрость!

[Tanechka]

Сейчас:
$x^6+x^3y-y^3-y^2=0$
$t=x^3$
$t^2+yt-(y^3+y^2)=0$
Решаем относительно $t$ (и мы понимаем, что $t$ - это положительный куб некоего натурального числа)
$D=y^2+4(y^3+y^2)=y^2(4y+5)$
$t=\frac{-y \pm y\sqrt{4y+5}}{2}$
Опять переобозначаем:
$a=\sqrt{4y+5} \Rightarrow y=\frac{a^2-5}{4}$
---
Уже нашла ошибку, допишу хотя бы до чего дошла
---
получаем, что:
$\frac{(5-a^2)(1 \pm a)}{8}$ должен являться кубом... в решении выше я про пятёрку забыла...

[nnosipov]

temp03 в сообщении #583849 писал(а):

Из невозможности $(b^3+1)\div a^3$ следует, что $a=1$

Т.е. Вы утверждаете, что если $b^3+1$ делится на $a^3$, то $a=1$? Но это неверно. Всё-таки, как аккуратно объяснить

temp03 в сообщении #583836 писал(а):

$a^3(a^3+1)=b^3+1$. Единственное решение $a=b=1$.

?

[temp03]

nnosipov в сообщении #583850 писал(а):

Отличается от 2. только техническими деталями.

Какбе логично

[nnosipov]

Tanechka в сообщении #583860 писал(а):

в решении выше я про пятёрку забыла...

Окей. А дальше на самом деле пустяки остались. Вот мы сейчас их и обсуждаем (хочется ведь аккуратно сделать).