Полином 5-ой степени

[SokolovArt]

Возник такой вопрос:можно ли из полинома $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ сделать полином $y^5+ty^3+ry+s$ путём замены и если да, то как?

[Sonic86]

Гуглите преобразование Чирнгаузена (или Чирнгауза) (и в какой-то суровой книжке оно было, но книжку не помню) - получите то, что хотите + даже $r=0$.

[Praded]

В.В.Прасолов. Многочлены. http://math.ru/lib/391

[SokolovArt]

Спасибо.

-- 10.06.2012, 21:22 --

Тогда ещё один вопрос: возможно ли решить уравнение, в левой части которого стоит 2-ой полином? (Я знаю, что уравнение 5-ой степени не разрешимо в радикалах, но может быть можнонайти хотя бы один корень?)

-- 10.06.2012, 21:32 --

Sonic86
И ещё один вопрос:а можно ли сделать такое преобразование, чтобы $r$ не было равно 0?

[Tanechka]

SokolovArt в сообщении #583198 писал(а):

(Я знаю, что уравнение 5-ой степени не разрешимо в радикалах, но может быть можнонайти хотя бы один корень?)

Если бы так можно было сделать, то поделив многочлен на этот корень, мы бы получили новый многочлен 4-ой степени, который решается в радикалах, а это бы значило, что и уравнение в пятой степени решается в радикалах.

[Sonic86]

Tanechka в сообщении #583229 писал(а):

Если бы так можно было сделать, то поделив многочлен на этот корень, мы бы получили новый многочлен 4-ой степени, который решается в радикалах, а это бы значило, что и уравнение в пятой степени решается в радикалах.

Ага! Еще добавлю: в общем случае уравнение 5-й степени в радикалах неразрешимо, но в некоторых частных - разрешимо (например $x^5=1$) - этим занимается теория Галуа (и вроде теория Абеля) - там надо вычислить группу Галуа и если она разрешима (т.е. не равна $S_5$ или $A_5$) - то уравнение разрешимо (для этого надо составлять резольвенты Лагранжа по матрешке (разрешающему ряду) группы Галуа). Подробнее смотрите например в Постникове Теория Галуа (ну есть Кострикин, но там кратко, есть еще Чеботарев, но это суровая книжка)

[SokolovArt]

Так может r быть не равным нулю?

[Sonic86]

SokolovArt в сообщении #583431 писал(а):

Так может r быть не равным нулю?

Точно не уверен, но может - надо смотреть способ построения преобразования Чирнгаузена...

[SokolovArt]

Sonic86
Но тогда уравнение станет решаемым (как я думаю).

-- 12.06.2012, 12:23 --

И ещё один вопрос по ходу дела: можно ли извлечь корень пятой степени из комплексного числа.

[Joker_vD]

SokolovArt в сообщении #583772 писал(а):

можно ли извлечь корень пятой степени из комплексного числа.

Нельзя. Это искуство было открыто в 1722 году и с тех пор находится под запретом. Вам следует получить разрешение на кафедре алгебры ближайшего мехмата.

Если серьезно, то да, можно. Формула Муавра вам поможет.

[SokolovArt]

Joker_vD
Всмысле под запретом?
И что насчёт преобразования $y^5+ay^4+by^3+cy^2+dy+e$ в $y^5+ty^3+ry+s$?

-- 12.06.2012, 12:48 --

И можно, пожалуйста, поподробнее про формулу Муавра.

[AV_77]

SokolovArt в сообщении #583777 писал(а):

И что насчёт преобразования $y^5+ay^4+by^3+cy^2+dy+e$ в $y^5+ty^3+ry+s$?

Да сделайте, наконец, замену $y = z - \frac{a}{5}$ и все получится.

SokolovArt в сообщении #583777 писал(а):

И можно, пожалуйста, поподробнее про формулу Муавра.

Вы гуглом пользоваться не умеете? Заходите на http://www.google.ru и набираете "формула Муавра".

[SokolovArt]

AV_77
А если не получится. Про то, что с помощью этой змены можно убрать $y^4$ я знаю, но $y^2$ всё рвно не уберётся.

[verywell]

Я подниму тему вновь. А есть ли метод уменьшать степень как это задано в первом сообщении треда, не строя матрицы (результант)
и если в $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ можно убрать степень $x^4$ заменой $x=y-1/4$
то как преобразовать $x^n+ax+b=0$ в $y^n+c=0$ не использовав, к примеру, преобразование Чирнгауза.

Спасибо!