Помогите с разложением функции в ряд Лорана

[egatsak]

Разложить функцию $ze^{\frac {z} {z-4}}$ в окрестности точки $z_0=4$

Начал с преобразования функции:
$ze^{z/(z-4)}=(z-4)e^{1+\frac {4} {z-4}}+4e^{1+\frac {4} {z-4}}=e((z-4)e^{\frac {4} {z-4}}+4e^{\frac {4} {z-4}})$

Воспользуемся готовым разложением:
$e^{\frac {4} {z-4}}=1+\frac {4}{z-4}+\frac {4^2} {2!(z-4)^2}+...$

В итоге получаем ряд Лорана:
$f(x)=e((z-4)\cdot \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac {4^n} {(z-4)^n\cdot n!}+4\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac {4^n} {(z-4)^n\cdot n!})$


И здесь возник вопрос: можем ли мы "упростить" полученное выражение до
$f(x)=ez\cdot \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac {4^n} {(z-4)^n\cdot n!}$
или это будет ошибкой?

Спасибо!

[Sonic86]

Нет, на самом деле надо в 1-м слагаемом $(z-4)$ сократить и потом привести подобные члены в суммах.