Предельная точка на стороне треугольника

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Вчера возникла проблема: дан треугольник ABC, центр вписанной окружности I, в треугольнике AIC снова определён центр вписанной окружности, и так далее. Найти предельную точку на стороне AC ("последний центр").
Попытка начать решение: во первых, можно выразить все углы $AI_nC$ через ABC. Во-вторых, можно выразить $AI_n$ и $CI_n$ через$ AI_{n-1}$, $CI_{n-1}$ и угол $AI_{n-1}C$. Если этого достаточно, то, думаю, задача решается не так трудно. Только вот достаточно ли, и если да, то зачем? Ваше мнение? У меня пока такая версия: если опустить любой перпендикуляр из $I_n$ на AC, его основание будет лежать правее (левее) этой точки (смотря какое соотношение сторон ABC). Ещё интересные мысли: каждая точка на отрезке AC соответствует множеству треугольников, для которых эта точка является выше определённой.

С уважением, Николай

[hurtsy]

Nikolai Moskvitin в сообщении #583318 писал(а):

Только вот достаточно ли, и если да, то зачем?

Достаточно, для решения, знать, что центр вписанной окружности, определяется пересечением 2-х биссектрис, а радиус зависит от отношения площади треугольника к периметру того же самого треугольника. Возможно вы сможете оценить сколько эквивалентных этим условиям можно сформулировать? Имхо, я теряюсь в догадках, а как для пургатория - в самый раз.Это уже ответ на зачем.
С уважением ,