Пуассон-Гамма распределение

[Aarnikotka]

Доброго времени суток! При изучении иностранной литературы по мат. моделированию столкнулся с проблемой определения закона распределения Пуассон-Гамма: $P(N=n)=\int\limits_0^\infty \lambda^ne^{-\lambda}/n!\lambda^{\alpha-1}\beta^{\alpha}e^{-\beta\lambda}/(\alpha-1)!d\lambda$. Литературы на русском языке найти не смог. Вот определение на английском, которое пока не удалось понять: "The compound Poisson-gamma variable is the sum of a random sample from a gamma distribution with sample size an independent Poisson random variable", особенно начиная со слов "with sample size an independent"

Буду рад любой помощи в разъяснении данного распределения.

[Vince Diesel]

Похоже, на русском так: ... это сумма значений с.в., имеющих гамма-распределение, где количество выбираемых значений - независимая с. в., распределенная по Пуассону.

[Aarnikotka]

Спасибо! Получается, что данное "compound" распределение, является "соединением" двух - непрерывного Гамма и дискретного Пуассона. Какая существует литература, в которой можно более подробно почитать про "compound distributions"? Есть ли разница в подсчете вероятности Пуассон-Гамма для заданного n, $\alpha, \beta$ сразу, и в случае когда $\lambda$ считается сначала с помощью Гамма распределения, потом полученное значение подставляется в пуассоновскую модель.

И еще такой вопрос: от чего зависят пределы интегрирования по $\lambda$ (от условий задачи)? Если есть возможность, подскажите, пожалуйста, где можно посмотреть какой-нибудь пример. Благодарю!

[Vince Diesel]

Лично я ничего не знаю, просто перевел фразу

[Aarnikotka]

я понял, все равно спасибо! И еще вопрос к знатокам форума: как интерпретировать полученную вероятность Р(N=n) - вероятность того, что, случайная величина примет значение n (Пуассон), которое ... ? Как влияет на эту формулировку Гамма распределение? Или же формулировка строится иначе?

[--mS--]

Ну вообще-то то, что написано в пояснении (про сумму гамма-распределённых величин, взятых в пуассоновском количестве), никак не относится к приведенной формуле. Если складывать случайные величины с гамма распределением в количестве, равном независимой от них пуассоновской случайной величине, получится случайная величина не с дискретным, а почти с абсолютно непрерывным распределением (смесь абсолютно непрерывного с вырожденным в нуле, которое возникает, если число слагаемых - ноль), которое действительно называется сложным пуассоновским (compound Poisson). Но - повторюсь - к данной формуле отношения иметь не может.

Распределение, вычисляемое по формуле из первого сообщения, есть распределение случайной величины $N \sim \textrm{Poiss}_{\lambda}$, где $\lambda \sim \Gamma_{\beta,\alpha}$, т.е. для всякого $n=0,1,\ldots$

$$\mathsf P(N=n ~|~ \lambda \in (t,t+dt)) = \frac{t^n}{n!}e^{-t}, \quad \mathsf P(\lambda \in (t, t+dt)) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha-1}e^{-\beta t}\,dt, \ t>0. $$

Это смесь пуассоновских распределений, где "смешивающее" распределение - гамма. Приведённая формула есть просто формула полной вероятности:

$$\mathsf P(N=n)=\int\limits_{\mathbb R}\mathsf P\bigl(N=n ~|~ \lambda \in (t,t+dt)\bigr)\cdot \mathsf P\bigl(\lambda \in (t, t+dt)\bigr).$$

Что такое смесь с данным "смешивающим" распределением? Например, если $\lambda$ принимает значения $\lambda_1$, $\lambda_2$ и т.д. с вероятностями $p_1$, $p_2$ и т.д. соответственно, и при каждом фиксированном значении $\lambda=\lambda_i$ величина $N$ имеет распределение Пуассона с этим параметром, то по формуле полной вероятности

$$\mathsf P(N=n)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda_i^n}{n!}e^{-\lambda_i}\cdot p_i.$$

Это мы смешали пуассоновские распределения с помощью дискретного смешивающего распределения. А теперь представьте себе, что значений у $\lambda$ не счётное количество, а они размазаны по прямой с плотностью как у гамма распределения. Вот и будет распределение как в первом сообщении топика.

(Оффтоп)

А плотность абсолютно непрерывной компоненты распределения пуассоновской суммы ($\nu$ штук) независимых друг от друга и от числа слагаемых гамма-распределённых величин $X_i$ есть

$${f\mathstrut} _{X_1+\ldots+X_\nu} (x) = \sum_{n=1}^\infty {f\mathstrut}_{X_1+\ldots+X_n}(x) \mathsf P(\nu = n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\beta^n}{(n-1)!}x^{n-1}e^{-\beta x}\, \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}. $$

[Aarnikotka]

А ларчик-то просто открывался! Премного благодарен!