Голоморфная функция

[rustam.hjhj]

Существует ли такая голоморфная функция $f$ в круге $\{\, z: |z|<1 \,\}$, для которой выполнено:
1)$|\operatorname{Re} f(z)|<1, z \in D$
2)$\sup _{z \in D} \operatorname{Im} f(z)=100$
3)$\inf _{z \in D} \operatorname{Im} f(z)=-100$ ?
Заранее спасибо за помощь!

[Vince Diesel]

Да.

[rustam.hjhj]

Спасибо! А какая, как построить эту фукцию?

[ewert]

Взять интеграл типа Коши: $f(z)=\dfrac1{2\pi i}\oint\limits_{|w|=1}\dfrac{\varphi(w)}{w-z}\,dw$, где $\varphi(w)$ -- комплекснозначная функция, заданная только на границе, достаточно гладкая и удовлетворяющая тем самым ограничениям. Тогда функция $f(z)$ будет аналитична внутри круга и будет удовлетворять тем же ограничениям (по принципу максимума для гармонических функций).

[Vince Diesel]

rustam.hjhj
В качестве заготовки, из которой можно смастерить пример, найдите функцию, у которой действительная часть ограничена в круге, а мнимая нет (есть простая элементарная ).
ewert
Произвольно задавать и действительную и мнимую часть у голоморфной функции не получится. Вся функция восстанавливается по одной действительной части (интеграл Шварца).

[ewert]

Vince Diesel в сообщении #582924 писал(а):

Произвольно задавать и действительную и мнимую часть у голоморфной функции не получится.

Так она ж по условию голоморфна лишь внутри круга. Но не обязательно на окружности.

[Vince Diesel]

Граничные значения действ. и мнимой части на окружности связаны преобразованием Гильберта (с точностью до константы). Ну, или еще так: если в интеграле Коши взять действительную $\varphi$, то $f$ не будет действительной функцией в круге, за исключением $\varphi\equiv \operatorname{const}$.

[rustam.hjhj]

Извините, я не понимаю,что это за фунцкия...

[Vince Diesel]

$\ln(1+z)$

[rustam.hjhj]

Спасибо!
Это получается заготовка?
Я просто совсем запутался в ваших рассуждениях...А как из нее теперь нужную получить?

[Vince Diesel]

Хмм... может, подумать? А то все решение я да я