Уравнение.

[yestlmush]

Добрый день! Подскажите, можно ли тут обойтись без решения уравнения 4й степени?
И если нет, то может быть, есть простой способ разложить полученный многочлен 4й степени на
множители? Пока что-то не очень выходит.

$t^2+\sqrt{4-t}=4$

[Sonic86]

Вот сразу после возведения в квадрат линейный множитель можно сократить - так что уравнение не 4-й, а 3-й степени.
Пробуйте решать до упора... не читайте эту фигню...

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #582657 писал(а):

Вот сразу после возведения в квадрат линейный множитель можно сократить

Нельзя, уравнение не имеет рациональных корней. Но тот многочлен 4-й степени благополучно разлагается в произведение квадратных, причём с целыми коэффициентами. В принципе, до этого разложения можно как-то додуматься и не зная общего подхода.

[confabulez]

В уравнении $\sqrt{4-t}=4-t^2$ можно заметить, что правая и левая части - обратные функции, а следовательно имеют решение только на в случае $t=\sqrt{4-t}$ (надо строго обосновать). Отсюда один из многочленов, на которые делится многочлен 4 степени, это $t^2+t-4$.

[yestlmush]

Sonic86 в сообщении #582657 писал(а):

Вот сразу после возведения в квадрат линейный множитель можно сократить - так что уравнение не 4-й, а 3-й степени.
Пробуйте решать до упора...

Что? какой линейный множитель?
После возведения в квадрат
$4-t=(4-t^2)^2$

-- 09.06.2012, 19:11 --

confabulez в сообщении #582662 писал(а):

В уравнении $\sqrt{4-t}=4-t^2$ можно заметить, что правая и левая части - обратные функции, а следовательно имеют решение только на в случае $t=\sqrt{4-t}$ (надо строго обосновать). Отсюда один из многочленов, на которые делится многочлен 4 степени, это $t^2+t-4$.

Немного не понял момент, почему решение будет только в случае $t=\sqrt{4-t}$ ?

[Lion]

yestlmush в сообщении #582653 писал(а):

Добрый день! Подскажите, можно ли тут обойтись без решения уравнения 4й степени?
И если нет, то может быть, есть простой способ разложить полученный многочлен 4й степени на
множители? Пока что-то не очень выходит.

$t^2+\sqrt{4-t}=4$

Рассмотрите это уравнение как уравнение на число 4.
Для удобства можете подставить вместо 4 букву $x$ и решить уравнение на $x$. А потом вспомните, что $x=4$.

[Sonic86]

(Оффтоп)

yestlmush в сообщении #582681 писал(а):

Что? какой линейный множитель?
После возведения в квадрат
$4-t=(4-t^2)^2$

Я фигню написал, не обращайте внимания...

[yestlmush]

Lion в сообщении #582700 писал(а):

yestlmush в сообщении #582653 писал(а):

Добрый день! Подскажите, можно ли тут обойтись без решения уравнения 4й степени?
И если нет, то может быть, есть простой способ разложить полученный многочлен 4й степени на
множители? Пока что-то не очень выходит.

$t^2+\sqrt{4-t}=4$

Рассмотрите это уравнение как уравнение на число 4.
Для удобства можете подставить вместо 4 букву $x$ и решить уравнение на $x$. А потом вспомните, что $x=4$.

Хм. Тоже немного не понял.

[Lion]

Замените цифру 4 на букву $x$ и решите уравнение относительно переменной $x$. Как ни странно, оно решится. Потом подставьте $x=4$ и решите получившиеся уравнения на $t$.

[мат-ламер]

Ещё один способ решения. Обозначим $u=\sqrt {4-t}$. Это возведём в квадрат и отнимем наше уравнение $4-t^2=u$. Получим $u^2-u=t^2-t$. Отсюда либо $u=t$, либо $u+t=1$. Далее очевидно.

[Keter]

Еще способ, посложнее предложенных, но способ.

$2+2-t=\Big( (2-t)(2+t) \Big)^2$

$2-t=u; (2+t)^2 u^2 - u - 2=0$

$D=8t^2 + 32t +33$

$2u=1 \pm \sqrt{D}$

$(3-2t)^2=33+32t+8t^2$