делители нуля

[ishhan]

Рассмотрим тождество:

$$(x+y+z)^{13}-x^{13} -y^{13}-z^{13}=13(x+y)(x+z)(y+z)Q^{10}(x,y,z)$$

Где$ Q^{10}(x,y,z)$ целочисленная симметрическая форма от трёх переменных степени 10.
Чему равно $Q^{10}(1,-1,1)$ ?
А так же в общем случае:

$$(x+y+z)^{p}-x^{p} -y^{p}-z^{p}=p(x+y)(x+z)(y+z)Q^{p-3}(x,y,z)$$

$Q^{p-3}(1,-1,1)=$?
где показатель p - простое нечетное число.

[venco]

Продиффиренцируйте два раза по $y$.

[ishhan]

У меня получилось$ Q^{10}(1,-1,1)=6$, но я ничего не дифференцировал.
Правильно ?

[venco]

ishhan в сообщении #582733 писал(а):

У меня получилось$ Q^{10}(1,-1,1)=6$, но я ничего не дифференцировал.
Правильно ?

Правильно.

[ishhan]

И тогда $Q^{10}(1,2,-1)=3\cdot5\cdot7\cdot13$?
Можете ли подсказать Вашу формулу, прошу прощения за навязчивость.

[venco]

ishhan в сообщении #582751 писал(а):

И тогда $Q^{10}(1,2,-1)=3\cdot5\cdot7\cdot13$?

А для этого надо продифференцировать по $x$ один раз. И ответ правильный - $2^{12}-1\over 3$.

ishhan в сообщении #582751 писал(а):

Можете ли подсказать Вашу формулу, прошу прощения за навязчивость.

Как видите, общей формулы нет. Я дифференцировал так, чтобы в требуемой точке справа коэффициент при $Q$ был ненулевой, а при производных $Q$ - нулевой. Производные простые, но какие именно брать - зависит от того, какие из сумм $x+y$, $x+z$, $y+z$ равны нулю.

[ishhan]

venco в сообщении #582769 писал(а):

Как видите, общей формулы нет. Я дифференцировал так, чтобы в требуемой точке справа коэффициент при $Q$ был ненулевой, а при производных $Q$ - нулевой. Производные простые, но какие именно брать - зависит от того, какие из сумм $x+y$, $x+z$, $y+z$ равны нулю.

Мне удалось найти общую формулу для $Q^{10}(x,y,z)$

$$(x+y+z)^{13}-x^{13} -y^{13}-z^{13}=13(x+y)(x+z)(y+z)Q^{10}(x,y,z)$$

Она состоит из 66 слагаемых, но для этого пришлось составлять систему из 14 уравнений которая связывает не известные коэффициенты формы$Q^{10}(x,y,z)$:

$Q(10,0,0), Q(9,1,0),Q(8,2,0),Q(7,3,0)...Q(4,3,3)$ и

триномиальные коэффициенты $T^{i,j,k}=\frac{(i+j+k)!}{i!j!k!}$

$Q^{10}(1,2,-1)=3\cdot5\cdot7\cdot13=\frac{2^{13}-1}{3}$ и мой ответ совпал с Вашим, но мои вычисления наверное будут сложнее.
Возможно существует более простой способ получения аналитического вида для симметрической формы

$Q^{10}(x,y,z)$ при $(x+y)(x+z)(y+z)=0$