Задача по теории множеств

[Asker Tasker]

Дана следующая задача:
Доказать, что если
(1) $ A_{1} \supset A_{2} \supset ... \supset A_{n} \supset ... $
и
(2) $ B_{1} \supset B_{2} \supset ... \supset B_{n} \supset ... $,
то
$ \bigcap_{n = 1}^{\infty} \left(A_{n} \bigcup B_{n} \right) = \left( \bigcap_{n = 1}^{\infty} A_{n} \right) \bigcup \left( \bigcap_{n = 1}^{\infty} B_{n} \right) $

Попытка решения:
Что ж, возьмём произвольный $ x \in \bigcap_{n = 1}^{\infty} \left(A_{n} \bigcup B_{n} \right) $, тогда имеем:
$ x \in \bigcap_{n = 1}^{\infty} \left(A_{n} \bigcup B_{n} \right) \Leftrightarrow \forall n\in N \ x\in \left(A_{n} \bigcup B_{n} \right) \Leftrightarrow \forall n\in N \left( x\in A_{n} \vee x\in B_{n} \right) $

Теперь я хочу сделать переход, в правильности которого не вполне уверен. Пожалуйста, подскажите, можно ли "внести квантор под скобки"? Если это действие имеет место быть, то
$ x \in \bigcap_{n = 1}^{\infty} \left(A_{n} \bigcup B_{n} \right) \Leftrightarrow \forall n\in N x\in A_{n} \vee \forall n\in N x\in B_{n} \Leftrightarrow x\in \bigcap_{n = 1}^{\infty} A_{n} \vee x\in \bigcap_{n = 1}^{\infty} B_{n} \Leftrightarrow x\in \left(\bigcap_{n = 1}^{\infty} A_{n} \right) \bigcup \left(\bigcap_{n = 1}^{\infty} B_{n} \right) $


В задаче также ставится вопрос: останется ли утверждение верным без предположений (1)-(2). Если приведённые мной рассуждения верны, то я не вижу, где в них эти предположения используются. А если они не верны, подскажите, пожалуйста, что не так.

[xmaister]

(Оффтоп)

Я могу предложить Вам немного другой вариант решения: Понятно, что $\operatorname{Lim}A_n=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n$, $\operatorname{Lim}B_n=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}B_n$ и $\operatorname{Lim}(A_n\cup B_n)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n\cup B_n$. А из того, что $\overline{\operatorname{Lim}}(A_n\cup B_n)=\overline{\operatorname{Lim}}A_n\cup\overline{\operatorname{Lim}}B_n$ сразу получается Ваше утверждение.

[Профессор Снэйп]

Asker Tasker в сообщении #582640 писал(а):

Теперь я хочу сделать переход, в правильности которого не вполне уверен. Пожалуйста, подскажите, можно ли "внести квантор под скобки"?

В общем случае нельзя, но в данном конкретном (когда множества образуют убывающие цепочки) - можно.

[Asker Tasker]

Профессор Снэйп,
Если ничего не путаю в терминологии, речь идёт о дистрибутивности кванторов. А как мы определяем, когда она имеет место? Это зависит от системы аксиом для высказываний или в каждом конкретном случае по-своему?
Я пока не могу понять, почему этого сделать нельзя, если последовательность множеств произвольная

xmaister,
А что мы называем пределом последовательности множеств?

[xmaister]

$\underline{\operatorname{Lim}}A_n=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}A_{n+k}$,$\overline{\operatorname{Lim}}A_n=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_{n+k}$. Последовательность множеств $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$- сходится, если $\underline{\operatorname{Lim}}A_n=\overline{\operatorname{Lim}}A_n$ и её предел $\operatorname{Lim}A_n=\underline{\operatorname{Lim}}A_n=\overline{\operatorname{Lim}}A_n$. Для такого предела можно доказать свойства, аналогичные свойствам предела числовых последовательностей.

[Профессор Снэйп]

Asker Tasker в сообщении #582695 писал(а):

Если ничего не путаю в терминологии, речь идёт о дистрибутивности кванторов.

Сравните два утверждения:

1) Любое натуральное число либо чётное, либо нечётное.
2) Либо любое натуральное число чётное, либо любое натуральное число нечётное.

Запишите оба через кванторы и узрите Истину!

[Asker Tasker]

Я что-то путаю или фраза "либо ..., либо..." соответствует исключающему или? Ведь в задаче речь идёт об объединении множеств, то есть дизъюнкции, а значит возможен вариант, когда х принадлежит обоим множествам сразу.

[Профессор Снэйп]

Asker Tasker в сообщении #582955 писал(а):

Я что-то путаю или фраза "либо ..., либо..." соответствует исключающему или?

Нет, не исключающему. В данном случае обычному "или", имеющему смысл "хотя бы одно из двух".

[Asker Tasker]

Хорошо. Спасибо.

[Профессор Снэйп]

Asker Tasker в сообщении #583676 писал(а):

Хорошо. Спасибо.

То есть Вы поняли, что $\forall x (A(x) \vee B(x)) \not\equiv \forall x A(x) \vee \forall x B(x)$. Если да, то пожалуйста

[Asker Tasker]

То что это не является, вообще говоря, тождеством, я понял, а вот как определять пока не совсем. В каждом конкретном случае смотрим отдельно или есть какие-то общие правила в логике или ещё что-то как-то?
Я, если честно, не до конца осознал, почему нам так важна вложенность в этой задаче. Может, какой наводящий вопрос подкинете? Был бы признателен)

[Профессор Снэйп]

Asker Tasker в сообщении #583996 писал(а):

Я, если честно, не до конца осознал, почему нам так важна вложенность в этой задаче. Может, какой наводящий вопрос подкинете?

Импликация $\forall x A(x) \vee \forall x B(x) \rightarrow \forall x (A(x) \vee B(x))$ верна всегда. Проблема в обратной импликации.

Теперь представьте, что в формуле $\forall x (A(x) \vee B(x))$ переменная $x$ принимает натуральные значения и справедливы импликации $A(x+1) \rightarrow A(x)$, $B(x+1) \rightarrow B(x)$. Допустим, что неверно $\forall x A(x) \vee \forall x B(x)$. Тогда для некоторых $x_1$ и $x_2$ выполнено $\neg A(x_1)$ и $\neg B(x_2)$. Выбираем максимальный из двух иксов и получаем противоречие. Если бы не было вложенности, то выбирать максимальный $x$ не имело бы смысла.

[Asker Tasker]

Ага. Кажется, понял. Спасибо!