Исследовать на сходимость

[NatNiM]

Здравствуйте.
Посмотрите, пожалуйста, здесь где-то вроде ошибка. Нужно найти, при каком значении параметра ряд сходится (расходится)
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{(x - 1)^n}{n9^n }}$

$ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{(x-1)^n (x-1)}{(n+1)9^n \cdot 9}\cdot\frac{n9^n}{(x-1)^n} = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{(x-1)^n(x-1)}} {(n + 1) \cdot 9} \cdot \frac{n}{1} = \frac{x-1}{9}\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} $
для того, чтобы исследуемый ряд сходился, необходимо условие:
$\left| {\frac{x - 1}{9}} \right| < 1 \Rightarrow x<10$
т.е. при $x<10$ ряд сходится. Верное ли?

Спасибо.

[gris]

У Вас сложнейшие рассуждения из теории рядов почти верны, а в решении школьного неравенства Вы оплошали. Да и на концах интервала надо тщательнее проверить. Там слабенький $n$ в знаменателе может сыграть роль.

[NatNiM]

Да, вы правы, спасибо, решенем неравенства будет $ - 10 < x < 10$
Если взять правую границу, $x=9$, то по признаку Даламбера ряд будет сходиться.
При $x= -9, -8$ не будут выполняться признак Лейбница о сходимость знакочередующегося ряда, т.е. левая граница будет $x>-8$.
Получается, что ряд будет сходится при $x<10$ и $x>-8$?

[gris]

Вы же обычно аккуратно пишете, а тут намешали какую-то кашу. Решение неравенства не такое. $x$ не обязательно целое. Даламбер не действует на правой границе. На левой как раз будет выполняться признак Лейбница. Ваш ответ означает, что ряд сходится при всех $x$.
Ну прямо таки "исчо".

[NatNiM]

Что-то я не в духе сегодня, так какое же решение неравенства и какие границы вы проверяете?

[gris]

$\left| \dfrac{x - 1}{9} \right| < 1 \Rightarrow \left|x - 1 \right| < 9 \Rightarrow -9 <x - 1 < 9\Rightarrow -8 <x <10$

Границы: $x=-8$ и $x=10$. Их нужно непосредственно подставить в формулу и проанализироваит два ряда.
Один — методом сравнения, другой — признаком Лейбница для знакочередующихся рядов.

[NatNiM]

И получается, что на левой границе не выполняется признак Лейбница (ряд расходится) и на правой границе ряд расходится.

[bot]

NatNiM в сообщении #582406 писал(а):

И получается, что на левой границе не выполняется признак Лейбница

Это ещё почему?