Матрица в показателе степени и под логарифмом

[DTF]

Здравствуйте.

Встречаются задачи (в моем случае - №№ 17.10 и 17.11 в задачнике кострикина),

где просят вычислить $e^A$ и $\ln{A}$, где А - (в моем случае - квадратная) матрица (дана в условии).

Я вот никак не могу найти в учебнике, что же означают эти записи (не говоря уже о том, чтобы придумать как решить задачи :) )

Натуральные степени мы определяем через конечное число умножений, целые - через деление на число в натуральной степени, рациональные - через корень соответствующей степени, иррациональные - через предел последовательности рациональных степеней...


А вот что за объект матричная степень? как он определяется? (и как решать задачу? :) )

[Mahalanobis]

Если можна, надо диагонализировать, и записать експоненту через ряд.

[DTF]

Диагонализировать - т.е. привести к (специальному) ступенчатому виду?
через ряд - имеется в виду ряд Тейлора, где вместо X будет матрица?
А почему нужно диагонализировать? разве от этого не изменится результат?

Определение матричной степени через разложение в ряд и есть "каноническое" определение этих объектов?

[Mahalanobis]

http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
Степень для матрицы искать умеем. Если матрица диагональная, експонента матрицы равна матрице у которой диагональные елеметны взяты в експоненту.

[DTF]

Спасибо

[Xaositect]

А если она все-таки недиагонализуема, то от жордановой формы этот ряд тоже просто вычисляется.

[Munin]

Используйте результаты упражнений 17.8 и 17.9. В вашем случае $f(x)$ будут $e^x$ и $\ln x.$

[DTF]

Спасибо всем, я решил задачу.

Проблемой было непонимание обозначения. $e^A$

Если определять его через многочлен (разложение в ряд), то там все просто :)

[Munin]

(Оффтоп)

Мне лично больше нравится определение $e^x$ как решения уравнения $f'(x)=f(x),\,\,f(0)=1$...

[Nimza]

Ещё есть очень быстрый способ (для матриц $2 \times 2$ он вообще позволяет часто устно вычислять экспоненциал). $X(t) = e^{At}$ удовлетворяет уравнению $\dot X(t) = A X(t)$, $X(0) = I$. Берём преобразование Лапласа и получаем $p\hat{X}(p) - I = A\hat{X}(p)$, выражаем $\hat{X}(p) = (pI-A)^{-1}$. Берём поэлементно обратное преобразование Лапласа и кладём $t=1$.

[Munin]

(Оффтоп)

Nimza в сообщении #582071 писал(а):

Берём поэлементно обратное преобразование Лапласа

А это можно?

[Nimza]

(Оффтоп)

Матрица же постоянная, значит, в $e^{At}$ будут синусы, косинусы, экспоненты и полиномы. Поэтому по образам легко узнать прообраз.

[Munin]

(Оффтоп)

Nimza в сообщении #582307 писал(а):

Матрица же постоянная

Как это постоянная? От $p$ она зависит.

[Nimza]

(Оффтоп)

Матрица $A$ постоянная.

[Munin]

(Оффтоп)

Ну и что, это делает выражение $(pI-A)^{-1}$ не зависящим от $p$?