Касательное пространство к многообразию

[EvilPhysicist]

Есть вопрос по касательному пространству и касательному расслоению к многообразию.

Далее $M$ - n-мерное многообразие класса $C^{\infty} $
$ A=\left\lbrace \left( U_\alpha, h_\alpha), \alpha \in \Lambda \right\rbrace $ - атлас на этом многообразии
$A(p) $ - множество карт, содержащих точку $p$
$ T_p M $ - касательное пространство к многообразию $M$ в точке $p$.

Собственно вопрос по тому, как определить касательное пространство. Как я понял, есть несколько вариантов.

$I)$ Через касательный вектор к кривой:
Берём многообразие $M$, вкладываем его в $\mathbb R^n$; строим на нём простую гладкую кривую $\gamma$, проходящую, через точку $p$ и берём вектор $\vec v_p(\gamma) $ - касательный к кривой $\gamma$ в точке $p$; Касательное пространство определяем как $T_p M = \left\lbrace \vec v_p(\gamma) : \text{для всех возможных кривых } \gamma \right\rbrace $.

При таком построении $T_pM$ - будет образовывать линейное пространство, но, на сколько я понимаю, требование вложимости $M$ в $\mathbb R^n$ - очень сильное и всё портит.

$II$ Через атлас
Берём кривые $\gamma_i, i=1\ldots n$ такие, что $ \gamma_i \colon \begin{cases} x_1=0\\x_2=0\\ \ldots\\x_i=C\\ \ldots\\ x_n=0 \end{cases} $, где $x_i$ - координаты на многообразии, $C$ выбрана так, что каждая кривая $\gamma_i$ проходит через $p$; Берём любую карту $ (U_\alpha,h_\alpha) $ из $A(p)$ и $h_\alhpa$ отображаем окрестность $p$ вместе с куском кривой в $\mathbb R^n$. Каждый вектор $ v_p(\gamma_i) $ делаем базисным в пространстве $\mathbb R^n$; Получившееся пространство называем касательным к многообразию в точке.

Но тут нужно требовать согласованности атласа, что тоже не есть хорошо.

$III$ Через отображение
Берём $A(p)$ и строим такое отображение $ V \colon \A(p) \to \mathbb R^n $ такое, что для любых двух карт $ (U_\alpha ,h_\alpha), (I_\beta, h_\beta) $ таких что $ V(U_\alpha ,h_\alpha)= \vec v= v^i \vec e_i $, $ V(I_\beta, h_\beta)= \vec v' = v'^i \vec e_i $ выполнено, что $ v^i = \cfrac{\partial x^i}{\partial x'^j} v'_i $, где $ x^i $ - координаты на многообразии в карте $(U_\alpha, h_\alpha)$, $ '^j $ - координаты в карте $(U_\beta,h_\beta)$. Получившееся отображение называем касательным вектором, а $T_p M$ называем линейную оболочку всех касательных векторов.

Тут не трудно построить линейное пространство касательных векторов, но очень не очевидно, как доказывать, что $\dim T_p M=n$

Собственно вопрос: все ли способы построения касательного пространства имеют место быть и быть в написанном мной виде

[shwedka]

Цитата:

Далее $M$ - n-мерное многообразие класса $C^{\infty} $

Цитата:

Берём многообразие $M$, вкладываем его в $\mathbb R^n$

Так не вложится

Цитата:

Берём кривые $\gamma_i, i=1\ldots n$ такие, что $ \gamma_i \colon \begin{cases} x_1=0\\x_2=0\\ \ldots\\x_i=C\\ \ldots\\ x_n=0 \end{cases} $, где $x_i$ - координаты на многообразии,

это не кривые, а точки.

В принципе, правильно, если оговорки убрать. Все возможно, все эквивалентно. Можо еще задать через дифференциальные операторы первого порядка.

[EvilPhysicist]

shwedka в сообщении #581353 писал(а):

Так не вложится

Тогда вкладываем в $\mathbb R^{n+k}, k\in \mathbb N$. Но тогда не очень понятно, как доказывать, что $ \dim T_p M = n$ (за исключением случая, когда $k=1$, там геометрически это очевидно).

shwedka в сообщении #581353 писал(а):

это не кривые, а точки.

Да, тут я ошибся, кривые $ \gamma_i, i=1\cdotsn $ такие, что $\gamma_i \colon \begin{cases} x_1=0\\x_2=0\\ \cdots \\ x_i = t \\ 0\\ x_n=0 \end{cases} , t \in [a,b] $

shwedka в сообщении #581353 писал(а):

Можо еще задать через дифференциальные операторы первого порядка.

Можно про это подробнее?

[lek]

EvilPhysicist в сообщении #581370 писал(а):

Тогда вкладываем в $\mathbb{R}^{n+k}$, $k\in\mathbb{N}$.

Можно считать, что $k=n$ (теорема Уитни о вложении).

[olenellus]

EvilPhysicist в сообщении #581370 писал(а):

Можно про это подробнее?

Рассмотрим $C^\infty(M)$. На этом пространстве можно ввести следующее отношение эквивалентности: две функции эквивалентны, если найдётся некоторая окрестность точки $p$, в котой они совпадают. Классы эквивалентности по данному отношению называются ростками функций в точке $p$. Их множество образует алгебру с поточечным сложением и умножением. На этой алгебре можно ввести дифференцирования, то есть линейные отображения в $\mathbb{R}$, удовлетворяющие правилу Лейбница в точке $p$. Множество всех таких дифференцирований можно снабдить естественной структурой линейного пространства (как для обычных линейных операторов). Полученное линейное пространство называется касательным пространством к многообразию $M$ в точке $p$ и обозначается $T_pM$, а его элементы называются касательными векторами к $M$ в $p$. То, что оно $n$-мерное, проверяется переходом к любой карте, содержащей точку $p$. Правило "замены координат" проверяется на пересечении двух карт.

Есть ещё один вариант построения касательного пространства, где в качестве векторов рассматриваются классы эквивалентности (по взаимному касанию) дифференцируемых кривых, проходящих через точку $p$.

[EvilPhysicist]

olenellus в сообщении #581570 писал(а):

На этой алгебре можно ввести дифференцирования, то есть линейные отображения в $\mathbb{R}$

Кажется уловил, но всё же спрошу:
Пусть $\Omega_p=\left( \omega(p)_i\tight)_{i\in J} $ - ростки функций в точке $p$. И мы вводим операторы $ \hat \partial_k \colon \mathbb f\in \omega(p)_m , \quad k=1\cdots n $ такие, что $ \hat \partial_k f= \cfrac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_k} $?
Ну то, что они образуют линейное пространство размерности $n$, чуть ли не очевидно. Но не очень понятно, как определить алгебру на ростках функций( в смысле произведение элементов алгебры определяется как обычное произведение функций или как их свёртка ), да и играет ли это роль.

olenellus в сообщении #581570 писал(а):

Есть ещё один вариант построения касательного пространства, где в качестве векторов рассматриваются классы эквивалентности (по взаимному касанию) дифференцируемых кривых, проходящих через точку $p$.

А это как? В смысле, как определяется эквивалентные кривые?

[olenellus]

EvilPhysicist в сообщении #581612 писал(а):

Кажется уловил, но всё же спрошу:

Простите, но не могли бы Вы расшифровать обозначения?

EvilPhysicist в сообщении #581612 писал(а):

Но не очень понятно, как определить алгебру на ростках функций( в смысле произведение элементов алгебры определяется как обычное произведение функций или как их свёртка ), да и играет ли это роль.

Поточеченое произведение (НЕ композиция). То есть $(fg)(p)=f(p)g(p)$. Произведение ростков, соответственно, принимается равным ростку произведения любых двух функций из этих ростков (надо доказать, что такое определение корректно, то есть, не зависит от выбора конкретных функций).
Алгебра нужна (нужна операция произведения элементов множества наряду с их суммой и умножением на скаляр), чтобы можно было удовлетворить правилу Лейбница. Пусть $V$ — некоторый линейный функционал на ростках функци в точке $p$. Чтобы он был дифференцированием, надо, чтобы он удовлетворял следующему правилу Лейбница:

$$V(fg)=V(f)g(p)+f(p)V(g)$$

для любых двух ростков $f$ и $g$ в точке $p$.

EvilPhysicist в сообщении #581612 писал(а):

А это как? В смысле, как определяется эквивалентные кривые?

Пусть $\xi:I\to M,\,t\mapsto\xi(t)$ — дифференцируемая параметрическая кривая, где $I\subset\mathbb{R}$ — интервал, причём $\xi(0)=p$. Рассмотрим дифференцируемую функцию $f$ на $M$. Тогда $f\circ\xi$ является дифференцируемой функцией из $I$ в $\mathbb{R}$. Назовём касательным вектором к кривой $\xi$ в точке $p$ функционал $V_p^\xi$ на ростках дифференцируемых функций в точке $p$, действующий по правилу:

$$V_p^\xi(f)=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f\circ\xi)(t)\right|_{t=0}$$

Две кривые объявляем эквивалентными (касающимися друг друга в $p$), если для на любых ростках в $p$ значения их касательных векторов в $p$ совпадают. Классы эквивалентности касающихся друг друга в точке $p$ дифференцируемых кривых назовём касательными векторами к $M$ в $p$. При таком определении не очень удобно вводить сумму классов эквивалентности кривых.

[EvilPhysicist]

olenellus в сообщении #581730 писал(а):

Простите, но не могли бы Вы расшифровать обозначения?

Мог, к тому же я там не совсем корректно написал.
Пусть $\Omega_p$ - ростки функций в точке $p$. И мы вводим дифференциальные оператор операторы $ \hat \partial_k, \quad k=1\cdots n $, действующие на пространстве ростков и совпадающие с соответствующими частными производными?

[olenellus]

Нет, не совсем. Вас опять в локальные координаты тянет. Описанные Вами операторы действуют не на $f:M\to\mathbb{R}$, а на $f\circ h^{-1}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$.

[EvilPhysicist]

olenellus в сообщении #582199 писал(а):

Нет, не совсем

Так, то есть мы берём отображения $ f\colon \operatorname{Gr}_p M \to \mathbb R $, где $\operatorname{Gr}_p M $ - ростки функций в точке $p$, а затем опрпеделяем линейные операторы дифференцирования $ \hat \partial \colon \operatorname{Gr}_p M \to \mathbb R $, которые образуют линейное пространство.

[olenellus]

Да. А потом уже залазием в локальные координаты и убеждаемся, что это линейное пространство n-мерно, и что их представителями в карте являются производные по направлению векторов, и что на этом пространстве представителей можно ввести базис из частных производных. Соответствующий ему базис исходных операторов называется координатным базисом в данной карте.

[EvilPhysicist]

Хорошо, а как на счёт вот такой конструкции.

(Обозначения, чтобы далеко не лазить)

EvilPhysicist в сообщении #581237 писал(а):

Далее $M$ - n-мерное многообразие класса $C^{\infty} $
$ A=\left\lbrace \left( U_\alpha, h_\alpha), \alpha \in \Lambda \right\rbrace $ - атлас на этом многообразии
$A(p) $ - множество карт, содержащих точку $p$
$ T_p M $ - касательное пространство к многообразию $M$ в точке $p$.

Берём точку $p$ и любую карту $(U_\alpha,h_\alpha) $ из $A(p)$. Берём линейное $n$-мерное пространство $L_n$ и называем его касательным пространством $T_p M$ для этой карты.
При этом требуем выполнения условия:
Если $(\vec e_i)_{i=1}^n$ - базис $T_pM$ для карты, которая задаёт координаты $x^i$, и $(\vec f_i)_{i=1}^n $ - базис $T_pM$ для другой карты, задающей координаты $y^i$, то они связаны как $ \vec e_i = \cfrac{\partial y^j}{\partial x^i} \vec f_j $

Тогда множество всех касательных пространств образует касательное расслоение $TM$
При этом можно ввести $(\vec e_i(x))_{i=1}^n$ - базисные вектора в $T_xM$.
Потребуем, чтобы вектора менялись от точки к точке как $ \cfrac{\partial \vec e_i}{\partial x^k} = \Gamma_{ik}^n \vec e_n $, где $x^k$ - координаты определяемые соотвествующей картой; $\Gamma_{ik}^n $ - коэффициенты связности.