Отношения радиусов окружностей:гипотеза

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Выдвигаю следующую гипотезу: если в прямоугольном треугольнике ABC (угол B-прямой) провести отрезок BD так, что D лежит на гипотенузе, то отношения радиусов вписанных окружностей треугольников ABD и BDC равно отношению радиусов их описанных окружностей. Дело в том, что углы $O_1DI_1=O_2DI_2 $ (где$ O_1,O_2,I_1,I_2$- соответствующие центры) и расстояния $O_2I_ 2$ и $O_1I_1$ зависят только от этих радиусов. Для обоснования равенства указанных углов достаточно заметить, что углы $ O_1DO_2$ и $I_1DI_2$ - прямые.

Пробовал выражать радиусы- получилось очень громоздко. Подумал про теорему Стюарта.

С уважением, Николай

[lek]

Ошибаетесь. Пусть $D\to A$. Тогда "вписанный" радиус $r_{ABD}\to 0$. Остальные радиусы стремятся к конечным значениям $\ne0$.

[Nikolai Moskvitin]

Спасибо, очень понравилось объяснение. Действительно, всё понятно. Тогда может попробовать найти одну точку на гипотенузе (или вообще в произвольном треугольнике на стороне), чтобы это выполнялось? Для равнобедренного очевидно, может, есть и для других?

[lek]

Попробуйте...