Имеет ли смысл квантование гравитации?

[Munin]

aklimets в сообщении #581182 писал(а):

где введены вместо $h_{ik}$ более удобные величины

$\psi^k_j = h^k_i - \frac12\delta^k_ih$

У Фейнмана (ФЛГ 3.7) введено более удобное обозначение:

$$\overline{X}_{\mu\nu}=\tfrac{1}{2}(X_{\mu\nu}+X_{\nu\mu})-\tfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}X^\sigma\!{}_\sigma,$$

так что оператор "черта" можно брать от любого тензора 2 ранга. Для симметричного тензора, соответственно,

$$\overline{h}_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h^\sigma\!{}_\sigma,$$

$$\overline{\overline{h}}_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}.$$

[lek]

aklimets в сообщении #581182 писал(а):

Таким образом, уравнения (2) вполне эквивалентны уравнениям Эйнштейна для слабого гравитационного поля.

Вы показали, что для слабого гравитационного поля уравнения (2) получаются из уравнений Эйнштейна. Теперь покажите, что уравнения Эйнштейна для слабого гравитационного поля, т.е. уравнения (1), можно получить из уравнений (2). Только в этом случае можно будет говорить об их эквивалентности. А это не очевидно, поскольку из равенства $\int A^{k}_{i}dS_{k}=\int B^{k}_{i}dS_{k}$ вообще говоря не следует, что $A^{k}_{i}=B^{k}_{i}$.

[aklimets]

lek в сообщении #581325 писал(а):

Теперь покажите, что уравнения Эйнштейна для слабого гравитационного поля, т.е. уравнения (1), можно получить из уравнений (2).

Я думаю, это решается выбором системы отсчета.

[lek]

aklimets в сообщении #581496 писал(а):

Я думаю, это решается выбором системы отсчета.

Попробуйте... Но не думаю, что у вас что-то получится. Как вы собираетесь выбором системы отсчета получить 10 уравнений в (1) из 4-х уравнений (условий) в (2), совершенно не ясно. В общем случае этого сделать нельзя, а если накладывать дополнительные условия (связи), то их надо как-то оправдывать.

[aklimets]

lek в сообщении #581503 писал(а):

Попробуйте... Но не думаю, что у вас что-то получится. Как вы собираетесь выбором системы отсчета получить 10 уравнений в (1) из 4-х уравнений (условий) в (2), совершенно не ясно. В общем случае этого сделать нельзя, а если накладывать дополнительные условия (связи), то их надо как-то оправдывать.

Хорошо, можно пойти другим путем. В учебнике Ландау, Лифшиц, "Теория поля", 2003, с. 446-447 приведена задача (R. Tolmen,1930), а именно:
в случае постоянного гравитационного поля оказывается возможным вывести простое выражение для полной энергии материи вместе с полем в виде интеграла только по пространству, занятому материей. Получить его можно, например, исходя из следующего выражения, справедливого, когда все величины не зависят от $x^0$ (см. ссылку в учебнике) :

$R^0_0 = \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial{x^\alpha}}(\sqrt{-g}g^{io}\Gamma^{\alpha}_{oi}})$

Интегрируя $\int R^0_0\sqrt{-g}$ по (трехмерному) пространству и применив трехмерную теорему Гаусса, получим

$\int R^0_0\sqrt{-g}dV = \oint\sqrt{-g}g^{io}\Gamma^{\alpha}_{oi}df_\alpha$

Взяв достаточно удаленную поверхность интегрирования (т.е. поле слабое) и воспользовавшись следующими выражениями для $g_{ik}$ (см. стр.442):

$h^{(1)}_{00} = -\frac{r_g}{r},\,\,\, h^{(1)}_{\alpha\beta} = -\frac{r_g}{r}n_\alpha n_\beta,\,\,\, h^{(1)}_{0\alpha} = 0$

где $R_g = 2km/c^2$.
получим после вычисления:

$\int R^0_0\sqrt{-g}dV = \frac{4\pi k}{c^2}m = \frac{4\pi k}{c^3}P^0\,\,\,\,\,\,(1)$

Записывая левую сторону (1) как

$\int R^0_0\sqrt{-g}dV = 2\pi R^0$

которая имеет размерность длины и трактуется мной как компонента радиуса кривизны, получим

$R^0 = \frac{2k}{c^3}P^0\,\,\,\,\,\,\,(2)$

(2) является определением нулевой компоненты радиуса кривизны пространства-времени с точностью до числового множителя
Как видно, здесь уже не нужно получать 10 уравнений из (2) и не нужно накладывать дополнительные условия (связи).
Так как поле слабое и линейное, импульс $P^0$ в (2) можно записать как квантовомеханический оператор нулевой компоненты радиуса кривизны $R^0$, которым можно действать на волновую функцию $\psi$, то есть вместо (2) получим выражение для оператора радиуса кривизны $R^0$

$R^0 = -i\frac{2k\hbar}{c^3}\frac{\partial}{\partial {x_o}} = -i2l^2_{pl}\frac{\partial}{\partial {x_o}}\,\,\,\,\,\,\,(3)$

Коммутатор операторов радиуса кривизны $R^0$ и координаты $x_0$ будет иметь вид

$[R^0x_0] = -i 2l^{2}_{pl}$

а соответствующее соотношение неопределенностей будет иметь вид

$\Delta R^0\Delta x_0\ge{l^2_{pl}\,\,\,\,\,(4)$

что и требовалось доказать.
Соотношение неопределенносте (4), я думаю, можно обобщить

$\Delta R^i\Delta x_i\ge l^2_{pl}$

Итак, мы получили соотношение неопределенностей для радиуса кривизны пространства-времени (импульса гравитационного поля) и сопряженнной координаты. Откуда следуют выводы, изложенные несколькими постами выше.

[lek]

aklimets в сообщении #581886 писал(а):

Итак, мы получили соотношение неопределенностей для радиуса кривизны пространства-времени (импульса гравитационного поля) и сопряженнной координаты. Откуда следуют выводы, изложенные несколькими постами выше.

Думаю, что обсуждение зашло в тупик. Ваша идеология и результаты мне понятны, однако свои замечания я не снимаю. В принципе, можете подготовить и послать краткое сообщение в журнал "Гравитация и космология" (http://rgs.vniims.ru/main.htm). Шансов, что опубликуют мало, но по крайней мере получите квалифицированную рецензию.

[aklimets]

lek в сообщении #582042 писал(а):

В принципе, можете подготовить и послать краткое сообщение в журнал "Гравитация и космология" (http://rgs.vniims.ru/main.htm).

Не могли бы Вы подсказать, где можно скачать какую-нибудь простую программу LaTex для подготовки статей с инструкцией на русском языке.

Признаюсь, что я как-то один раз принимал участие в одной из конференций Гравитационного общества. Мой доклад был посвящен геонам. У меня даже есть и статья на эту тему в журнале "Fizika B" (Хорватия), (на русском языке).

[lek]

aklimets в сообщении #582134 писал(а):

Не могли бы Вы подсказать, где можно скачать какую-нибудь простую программу LaTex для подготовки статей с инструкцией на русском языке.

Не совсем по теме, но отвечу. Вам надо скачать следующее:
1) MiKTeX (программа LaTeX2e там встроена);
2) WinEdt - оболочку для TeX (есть много других редакторов, но это дело вкуса);
3) Инструкцию по установке MiKTeX и WinEdt;
4) "Учебник" по работе с LaTeX;
5) Требования редакции по оформлению статьи.
Все это можно найти в интернете. Посетите, например, сайт ЯрГУ (http://www.tex.uniyar.ac.ru/index.htm). Там все необходимое (разумеется, кроме последнего пункта) есть. Советую также скачать книгу Гретцера "Первые шаги в LaTeX". Для ваших целей она подойдет лучше других. Скачать ее можно здесь http://bookfi.org/. Если будут еще вопросы, пишите в личку.