Но у меня возник вопрос. Доказав теорему мы показали, в частности, что наше "привычное" сложение (поскольку оно, очевидно, удовлетворяет свойствам 1-2) совпадает с тем абстрактным, существование которого эта теорема гарантирует. Но мне пока нигде не встретилось собственно построение "правил сложения". Мы выводим законы (коммутативность, ассоциативность, сохранение порядка и так далее), но само сложение нигде не вводим.
Может, у меня уже совсем вылетели младшие классы из головы, но:
а) как же мы всё-таки вводим сложение? Не предполагается же, что все правила 2+2=4, 13+8=21 и т.д. заранее известны.
б) почему нельзя рассмотреть "привычное" сложение из первого-второго класс школы и уже по тому, как оно построено, изучать его свойства?
Забудьте про младшие классы (я так говорю, потому что знаю, что Вы всё равно не сможете про них забыть
).
"Привычное" - это то, что у Вас в голове. На самом деле в младших классах сложение не определяли, его, строго говоря, не было. Вас лишь научили им пользоваться и дали понять, что это такое с точки зрения практики и человеческого восприятия.
Если Вы хотите разобраться в основаниях, то поймите, что сложение - это, по определению, алгебраическая операция, удовлетворяющая определённым свойствам. Опираясь на аксиоматику Пеано, можно доказать, что такая операция существует и единственна. И неудивительно, что потом доказываются свойства введённой операции (коммутативность, ассоциативность).
А вот, чтобы появились привычные числа, нужно сначала определить систему счисления. То есть доказать, что любое натуральное число единственным образом представимо в таком-то виде. А перед этим нужно ещё доказать, что на множестве натуральных чисел выполняется аксиома Архимеда.
Можно еще яблоки считать.
