Задача об идеалах. Где ошибка?

[farewe11]

Добрый день, задача такая: Доказать, что множество $I_s$ непрерывных функций, обращающихся в ноль на фиксированном подмножестве $S \subseteq [a,b]$, является идеалом в кольце функций, непрерывных на $[a,b]$.
Решал так: обозначим кольцо функци, непрерывных на $[a,b]$ за $I$.
$\forall i_s , i (i_s \in I_s, \ i \in I) : \ f=i_s\cdot i = 0$ на $S$. То есть любая такая функция $f$, являющаяся произведением функции из $I$ и функции из $I_s$, принадлежит $I_s$. Таким образом, $I_s$ - это идеал. Что тут неверно?

[Joker_vD]

Тут все правильно, только вы про сумму элементов $I_s$ забыли упомянуть.

[farewe11]

А что с ней?

[tavrik]

я сейчас с идеалами...
по моему, три вещи мы доказываем:
что $I$ это не пусто
что $i_s-i_p\in{I}$
и наконец, то что у вас доказано - произведение с любым произвольным элементом кольца - попадает в идеал.

[farewe11]

tavrik
$I_s$ и $I$ не пусты по условию; $i_s + i_p \in I$ - ну это очевидно, на $S\subseteq [a,b]$ $i_s + i_p = 0$, т.к. $i_s=0$ и $i_p=0$, ну а третий пункт я доказал.. Кажись, всё верно.

[tavrik]

возможно. я, повторяюсь, сам учу этот курс.
ну это минус там...это как в группах когда доказывают что $ab^-1\in{H}$ ...там меньше пунктов тогда доказывать просто...

[apriv]

Ежели кольцо с единицей, можно доказывать только про сумму и про умножение на элемент кольца, куда уж меньше.

[tavrik]

да, я имел ввиду в групах меньше...и написал умножение как единственную операцию...ТАМ...