Асимптота

[Terraniux]

Приветствую всех!
У меня есть небольшой вопрос: что является асимптотой для функции $\sin(x)e^x$. Прямая y = 0?

[ewert]

Terraniux в сообщении #580738 писал(а):

Прямая y = 0?

Да, но не вся.

[Terraniux]

Спасибо. А какие еще есть? И как строго доказать этот факт?

[Shtorm]

Terraniux в сообщении #580837 писал(а):

Спасибо. А какие еще есть? И как строго доказать этот факт?

Вертикальных асимптот нет, поскольку область определения - вся ось ОХ.
Ищем все виды наклонных и горизонтальных асимптот в виде уравнения: $y=kx+b$

По определению:

$k_{1}=\lim \limits_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}$ (при x стремящемся к плюс бесконечности)

$k_{2}=\lim \limits_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}$ (при x стремящемся к минус бесконечности)

Соответственно в общем случае могут получиться две наклонные асимптоты. Но в Вашем случае первый предел не существует, а второй равен 0.
Следовательно коэффициэнт b проверяем только по одной формуле:

$b=\lim \limits_{x\to \infty} (f(x)-k_2x)$ (при x стремящемся к минус бесконечности)

Ну, а дальше Вы уж сами.

[ewert]

Shtorm в сообщении #580916 писал(а):

(при x стремящемся к минус бесконечности)

Это пишется под значком предела тупо так: $x\to-\infty$.

Кроме того: очень полезно перед поиском наклонной асимптоты попытаться всё-таки глянуть, а нет ли горизонтальной. Тогда на минус бесконечности всё очевидно, а на плюс -- тоже, конечно, но уже по другим причинам, и надо эти причины лишь аккуратно оформить.

[Shtorm]

ewert в сообщении #580918 писал(а):

Это пишется под значком предела тупо так: $x\to-\infty$.

Я так и хотел написать, но незнание Латеха меня подвело. Ну думаю мне простительно с учётом того, что до прихода на этот форум я никогда им не пользовался. Спасибо вам за подсказку нужной команды.

ewert в сообщении #580918 писал(а):

Кроме того: очень полезно перед поиском наклонной асимптоты попытаться всё-таки глянуть, а нет ли горизонтальной. Тогда на минус бесконечности всё очевидно, а на плюс -- тоже, конечно, но уже по другим причинам, и надо эти причины лишь аккуратно оформить.

А после того, как закончим поиск горизонтальных асимптот ( общем случае, а не в данном примере), придётся снова проверять наличие наклонных. А если сразу будем искать наклонные, то найдём и те и другие.

[ewert]

Shtorm в сообщении #580952 писал(а):

А после того, как закончим поиск горизонтальных асимптот ( общем случае, а не в данном примере), придётся снова проверять наличие наклонных.

Это да, это некоторая методическая проблема. Но дело в том, что если уж горизонтальные асимптоты есть -- то они обычно бросаются в глаза безо всяких рассусоливаний, вот как в этом случае; после чего вопрос мгновенно отпадает.