Монотонность функции

[pika]

Пусть $f(x)=o(g(x))$, при $x \to+\infty$
$f(x),g(x)$ - непрерывны $\forall x \in [0;+\infty)$
$f(x),g(x)$ - монотонно возрастают и положительны $\forall x \in [0;+\infty)$

Следует ли из этих условий, что $h(x) = f(x)/g(x)$ монотонно стремится к нулю с некоторого числа $a\in [0;+\infty)$.

Если нет, то предоставьте контрпример.
Если да, то помогите доказать

[ewert]

Нет, конечно. Пусть, скажем, для затравки $g(x)=x$ и $f(x)=\sqrt x$, тогда вроде всё хорошо. Теперь замените $f(x)$ на кусочно-постоянную функцию, запёртую между графиками $\sqrt x$ и $2\sqrt x$; монотонность её сохранится, стремление к нулю отношения -- тем более, а вот монотонное убывание этого отношения -- категорически нарушится на вертикальных скачках функции $f(x)$. (Если от $f(x)$ требуется строгая монотонность, то ради бога -- достаточно лишь чуток перекосить каждую из её ступенек.) Правда, эта функция разрывна; ну так и что?... ведь если каждый её разрыв сгладить в достаточно малой своей окрестности, то в пределах этих окрестностей монотонность отношения так и будет нарушаться.