Сходимость по мере, задача

[glazacvetaneba]

Здравствуйте, возник вопрос по задаче:
1) Дана функция
$ g(x)=\begin{cases} \frac {x} {x+1},& x>0\\ \arctg x-1,& x \leqslant 0;\\ \end{cases} \text {Дана функциональная последовательность:} f_n(x)=\sin \frac x n \text {Узнать, сходится ли она к чему-нибудь по мере} \mu_g f_n(x)\stackrel {\mu_g} {\rightrightarrows} ? $

Я сначала узнаю $ \lim_{n \to \infty} \sin \frac x n $ получаю 0. Далее решаю неравенство $\sin \frac x n \geqslant \varepsilon $ относительно $x$, получается 2 промежутка, каждый прогоняю по мере, мера этих промежутков стремится к 0 при $n$ стремящемся к бесконечности, соответственно наш синус равномерно стремится к 0 по $\mu_g$. Но преподаватель сказала, что нужно рассмотреть $\bigcup\limits_{n=1}^\infty $ промежутков, и поэтому проверять сходимость меры по отдельности не катит. Но ведь мера счетно-аддитивна, а при решении неравенства мы получаем, что промежутки не пересекаются, следовательно мера суммы равна сумме мер. Что я делаю не так, объясните, пожалуйста.

[CptPwnage]

Для сходимости по мере к 0 надо чтобы $\mu_g \lbrace x:|\sin \frac x n| \ge \varepsilon \rbrace $ стремилась к 0,а не без модуля, может это как-то влияет.

[glazacvetaneba]

Я проверял с модулем, именно поэтому разбиение идет на 2 не пересекающихся между собой промежутка.

[Хорхе]

Мера, если меня не обманывают глаза, конечна, а значит, из полученной Вами поточечной сходимости следует...

[glazacvetaneba]

...следует что?

[Хорхе]

Сходимость по мере.

[AD]

glazacvetaneba в сообщении #579521 писал(а):

нужно рассмотреть $\bigcup\limits_{n=1}^\infty $ промежутков

Нет, не по $n$ а по номеру промежутка. Синус - штука периодическая, поэтому промежутков при каждом $n$ будет бесконечно много, вот их всех надо складывать. Но Хорхе как всегда решает.

[glazacvetaneba]

Получается, если я возьму объемлющее множество
$( \infty;-n\cdot\arcsin\delta$) и $(n\cdot\arcsin\delta;+\infty $)
И докажу его сходимость, то и мое множество стремиться к 0, правильно?

[Хорхе]

Не множество стремится к нулю, но мера. А идея да, правильная (несмотря на то, что $\varepsilon$ внезапно превратилось в $\delta$).

[glazacvetaneba]

Спасибо за ответ, несмотря на мои недочеты в формулах;)