Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов

[pika]

Всем доброго дня!


Если не вдаваться в подробности, то признак Дирихле для РЕШЕНИЯ задач можно сформулировать так:
Пусть есть интеграл вида: $\int_{a}^{+ \infty} f(x)g(x) dx $
1. Требуется ограниченность $\int_{a}^{T} f(x) dx$
2. Требуется стремление к нулю $g(x)$
3. Требуется монотонность $g(x)$

А вопрос в следующем, допустим, функция $g(x)$ монотонна начиная с некоторого числа $b$, $a<b<+\infty$

Все остальные пункты признака Дирихле выполнены, следует ли сходимость в этом случае?

Я думаю так:
$\int_{a}^{+ \infty} f(x)g(x) dx = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx + \int_{b}^{+ \infty} f(x)g(x) dx $

Первый интеграл есть сумма несобственного интеграла, который сходится по признаку Дирихле, и числа, равного определенному интегралу Римана, поэтому наш интеграл сходится.

Поправьте, если я не прав

[Хорхе]

Все верно (если никаких других особенностей нет).