проблемы с топологией...

[Диман]

помогите пожалуйста со следующими свойствами топологии в евклидовых пространствах:
1)семейство Iэi множеств Ui открыто =>объединение Ui тоже открыто
2)U1,...,Uk - открыты => пересечение Ui (i=1,...,k) открыто
3)семейство Iэi множеств Fi замкнуто => пересечение Fi тоже замкнуто
4)F1,...,Fk - замкнуты => объединение Fi (i=1,...,k) замкнуто

привести примеры множеств А2,A3,...,A7 таких, что g(Ai) состоит из i множеств (i=2,...,7)[/math]

[PAV]

Ответы сразу же следуют из определения открытого множества (каждая точка входит вместе с некоторой окрестностью) и замкнутого (дополнение к открытому). Напишите свои соображения.

[Диман]

вобщем 1 и 2 у меня получились, но правильно ли я сделал 3 и 4?
3) $B_1 ,..., B_k$ замкнуты =>объединение B_i (i=1,...,n) - замкнуто

$B_i$ замкнуто => $B_i ^c$ открыто
$B_i ^c = A_i =>$ пересечение $A_i$(i=1,...,n)= пересечение B_i ^c - открыто и = (объединение B_i)^c => объединение B_i(i=1,...,n) - замкнуто.

4) $B_i , i\in {I}$ замкнуты => пересечениеF_i$-замкнуто

B_i ^c = A_i открыто => объединениеA_i (i \in {I}) = объединениеB_i ^c-открыто = (пересечение B_i)^c =>пересечение B_i (i \in {I}) замкнуто.

Добавлено спустя 15 минут 38 секунд:

и не могли бы вы привести примеры множеств A_2, A_3,...,A_7 таких, что g(A_i) состоит из i множеств (i=2,...,7)
Можно любые: в R^2, R^n, R^m,...

[Brukvalub]

Диман писал(а):

и не могли бы вы привести примеры множеств A_2, A_3,...,A_7таких, что g(A_i) состоит из i множеств (i=2,...,7)
Можно любые: в R^2, R^n, R^m,...

Если бы ещё знать, что такое g(A_i)...

[PAV]

Да, доказательства 3 и 4 правильные