Получение Неравенства Клаузиуса из Закона неубывания энтропи

[BasilKrzh]

Натолкните кто-нибудь, пожалуйста, на путь решения (или укажите на учебник), как из формулировки 2-го начала в форме: \newline \guillemotleft Величина $\delta Q/T$ является в равновесных процессах полным дифференциалом величины, называемой термодинамической энтропией ($S$). В изолированной системе энтропия не уменьшается ($dS \geqslant 0$)\guillemotright (где $\delta Q$ - элементарное количество теплоты, $T$ - термодинамическая температура)\newline напрямую (не через формулировку Клаузиуса $\rightarrow$ формулировку Кельвина $\rightarrow$ Теоремы Карно) вывести неравенство Клаузиуса: \newline \guillemotleft В любых процессах и системах $\delta Q \leqslant TdS$ (причём равенство достигается только в обратимых процессах)\guillemotright ?

[Himfizik]

Исторически $\delta Q\leqslant TdS$ был записан как обобщение опыта. Часто говорят так:
в равновесном адиабатическом процессе $dS=0$
в неравновесном адиабатическом - $dS>0$ (рост энтропии)
в равновесном неадиабатическом - $dS=\frac{\delta Q}{T}$,
тогда, что будет в неравновесном неадиабатическом?!
Естественное обобщение: $dS \geqslant\frac{\delta Q}{T}$.

Вывод этого можно провести из неравенства Клаузиуса:$\oint \frac{\delta Q}{T}\leqslant 0$ -
будем переходить из $1$ в $2$ необратимо, дополним процесс до цикла, сходив из $2$ в $1$ "обратимым образом". Тогда $\oint \frac{\delta Q}{T}=\int_{1}^2 \frac{\delta Q_{irrev}}{T}+\int_{2}^1 \frac{\delta Q_{rev}}{T}=\int_{1}^2 \frac{\delta Q_{irrev}}{T}+S_1-S_2<0$. Здесь использовано, что $S_2-S_1=\int_{1}^2\frac{\delta Q_{rev}}{T}$.

То есть $S_2-S_1-\int_{1}^2 \frac{\delta Q_{irrev}}{T}>0$, ч. и т.д. Отсюда же следует и возрастание энтропии для замкнутых систем, если положить $\int\frac{\delta Q}{T}=0$.
Очень часто $\delta Q\leqslant TdS$ считают естественным обобщением и уже из него получают неравенство Клаузиуса.

P.S. Доказательство неравенства Клаузиуса может быть проведено методом циклов Карно.