Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

[External]

Добрый день.
Столкнулся с терминами мат. ожидания и дисперсии случайной величины, которые были представлены следующими формулами:
Мат ожидание: $E \xi = \sum_{\omega } \xi(\omega)\cdot p_\omega = \sum_{a} a \times P(\xi = a)$
Дисперсия: $D\xi= E(\xi - E\xi)^2$

Такие формулировки оставляют несколько вопросов, разобраться с которыми я сам не смог.

1) Что есть мат ожидание случайной величины? На каком-нибудь простом примере с абстрактными моделями. Чтобы разобраться что именно показывает эта величина?
2) Зачем вводится такая величина как дисперсия? Хотя, наверное это станет понятно, когда я разберусь с первым вопросом. Тоже хочется разобраться что показывает такая величина, и зачем она нужна на практике.

[--mS--]

Вы полагаете, кто-то здесь будет пересказывать учебники?

[AV_77]

Математическое ожидание это что-то типа среднего значения. Например, если бросать правильный игральный кубик, то математическое ожидание числа единиц при 60 бросаниях равно 10, то есть за 60 бросаний в среднем будет выпадать 10 единиц.

Ну а дисперсия характеризует разброс (на сколько далеко от математического ожидания отклоняется случайная величина).

[Shtorm]

AV_77 в сообщении #579982 писал(а):

.....
Ну а дисперсия характеризует разброс (на сколько далеко от математического ожидания отклоняется случайная величина).

Я тоже всегда так говорю про дисперсию и тут же мысленно сам себе задаю вопрос, а что же тогда "отклонение случайной величины", которое тоже используется в теории вероятостей? Можно конкретизировать, что дисперсия - это не просто отклонение, а средняя величина квадрата отклонения всех случайных величин в данном распределении.

[Александрович]

Shtorm в сообщении #580014 писал(а):

Можно конкретизировать, что дисперсия - это не просто отклонение, а средняя величина квадрата отклонения всех случайных величин в данном распределении.

А никто и не говорит что дисперсия это отклонение. Это характеристика разброса, а определяется она так как вы сказали.

[External]

Рассмотрим игральный кубик. (Как абстрактную модель) Число точек на "выпавшей" грани - случайная величина от 1 до 6. И вероятности выпадения чисел равны между собой и равны $\frac{1}{6}$.
Тогда мат. ожидание числа точек на "выпавшей" грани кубика будет равно $E\xi = \sum_{a}a\times P(\xi = a) = \frac{1}{6} \cdot \sum_{1}^{6} = \frac{1}{6}\cdot21 = 3.5$. Но это же не может быть так. Что я понимаю не верно? Хочется разобраться.

[Joker_vD]

External в сообщении #580147 писал(а):

Но это же не может быть так.

Почему? На кубике действительно выпадает "в среднем" $3{,}5$ очка. Ну возьмите кубик, киньте его раз 20, сложите все, что выпало — будет что-то около 70.

[ewert]

External в сообщении #580147 писал(а):

Но это же не может быть так.

Среднее вовсе не обязано быть наблюдаемым.

[External]

Действительно. Хм, тогда с мат. ожиданием вроде бы разобрался. А как посчитать дисперсию той же величины (числа очков при бросании кости)?
$D\xi = E(\xi - E\xi)^2 = E\xi^2 - (E\xi)^2 = E(\xi - a)^2 - (E\xi - a)^2$
Не понимаю как найти, например, мат ожидание величин $(\xi - E\xi)^2$, $\xi^2$, $(\xi-a)^2$, и $\xi - a$.

Просто найти $E\xi$ было не трудно. Да и понятно, что она показывает. Математическое ожидание числа точек на верхней грани кубика. А что показывают эти величины - не понятно.

[Александрович]

Joker_vD в сообщении #580150 писал(а):

External в сообщении #580147 писал(а):

Но это же не может быть так.

Почему? На кубике действительно выпадает "в среднем" $3{,}5$ очка. Ну возьмите кубик, киньте его раз 20, сложите все, что выпало — будет что-то около 70.

Зачем бросать? Для равномерно распределённой случайной величины в интервале [a,b] матожидание равно $\frac{a+b}{2}$.

[Henrylee]

External в сообщении #580155 писал(а):

Не понимаю как найти, например, мат ожидание величин $(\xi - E\xi)^2$, $\xi^2$, $(\xi-a)^2$, и $\xi - a$.

Ну, например, $\xi^2$ это случайная величина, являющаяся квадратом числа,выпавшего на кубике. Она принимает значения $1,4,9,..$. Чему тогда равно $E\xi^2$?

-- Пн июн 04, 2012 13:51:46 --

Александрович в сообщении #580166 писал(а):

Зачем бросать? Для равномерно распределённой случайной величины в интервале [a,b] матожидание равно $\frac{a+b}{2}$.

Зачем приводить пример, запутывающий спрашивающего?

[Евгений Машеров]

0. Этимология термина далеко не всегда бывает полезна. Но иногда позволяет прояснить логику автора термина и приблизиться к пониманию термина. В данном случае фигурирует "ожидание". Чего? Видимо, значения случайной величины. Предугадать, какое значение примет случайная величина, мы не можем, она всё же случайная, но чего-то ожидать вправе.
1. Эмпирически оценить, чего нам от данной величины ожидать, можно, многократно повторив получение её значений, и найдя среднее (среднее - не всегда лучшая мера положения, но иногда всё же лучшая, и, по крайней мере, самая распространённая). Но если у нас нет возможности повторять опыт - но есть выражение для вероятностей, с которыми случайная величина принимает те или иные значения - то вместо повторения опытов мы полагаем, что те или иные значение повторяются с частотой, пропорциональной этой вероятности. То есть реальный опыт заменяется воображаемым, причём воображаемый опыт повторяется бесконечное число раз, тем самым обеспечивая то, что частоты появления тех или иных значений в точности совпадают с вероятностями (см. закон больших чисел). Замена реальных опытов вычислением оправдывает прилагательное "математическое" к слову "ожидание". Если величина принимает не конечный набор значений, а непрерывна, то сумма у нас превращается в интеграл.
2. Даже при одинаковом среднем значении случайные величины могут быть весьма различны с практической точки зрения. Если Вам предложат работу на $100 (но неизвестно, какой точный объём работы, и заплатят случайную величину между $90 и $110) и если Вам предложат вложить $100 в авантюру, в которой с равной вероятностью проиграете их или получите $300, средние выигрыши (матожидания выигрышей) будут равны, но во втором случае разброс возможных значений куда резче. Разброс можно измерить отклонением от центрального значения (которое часто берут равным именно матожиданию), при этом нас интересует отклонение в ту и другую сторону, так что надо брать какую-то чётную функцию от отклонения. Можно и абсолютную величину, но оказывается, что при этом нам не проще, чем если бы взяли квадрат отклонения. Дело в том, что в случае квадрата полученные оценки разброса, величины дисперсии, имеют очень полезное свойство - дисперсия суммы или разности независимых величин равна сумме их дисперсий. Это очень помогает в расчётах. Формула для расчёта дисперсии очень похожа на формулу для матожидания, только вместо значения величины на вероятность умножается квадрат отклонения величины от среднего.
3. Однако выбор квадрата приводит к определённой трудности - величина имеет иную размерность, чем исходная - размерность квадрата исходной. Поэтому используется также корень квадратный из дисперсии.

[External]

Henrylee в сообщении #580670 писал(а):

External в сообщении #580155 писал(а):

Не понимаю как найти, например, мат ожидание величин $(\xi - E\xi)^2$, $\xi^2$, $(\xi-a)^2$, и $\xi - a$.

Ну, например, $\xi^2$ это случайная величина, являющаяся квадратом числа,выпавшего на кубике. Она принимает значения $1,4,9,..$. Чему тогда равно $E\xi^2$?

-- Пн июн 04, 2012 13:51:46 --

Александрович в сообщении #580166 писал(а):

Зачем бросать? Для равномерно распределённой случайной величины в интервале [a,b] матожидание равно $\frac{a+b}{2}$.

Зачем приводить пример, запутывающий спрашивающего?

$E\xi^2 = \frac{1}{6}\cdot(1+4+9+16+25+36) = \frac{1}{6}\cdot91 = 15\frac{1}{6}$ ? Все, вроде бы верно.
Тогде $D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{182-147}{12} = \frac{35}{12} = 2\frac{11}{12}$?

[--mS--]

Да, конечно.

[External]

Что показывает это число в случае игральной кости? $E\xi = 3.5$, как я понял, показывает, что с увеличением числа бросков кубика - среднее значение числа выпавших точек будет стремиться к $3.5$. Но что показывает эта величина?