Логика и методология математики.

[Феликс Шмидель]

longstreet в сообщении #579924 писал(а):

Ну, Вы, например, понимаете, что математическая теория не обязательно должна быть аксиоматической?

Нет. А как строгая математическая теория может не быть аксиоматической?

[longstreet]

Любая. Нет такого раз и навсегда установленного понятия как "строгая математическая теория".

Возьмите почти любой книгу или учебник. Например, у меня "Алгебра" Ван дер Вардена на столе лежит. Там излагается математическая теория строго, но неаксиматически.

-- 02.06.2012, 19:17 --

Большинство физических теорий неаксиматизированы. Тем не менее они строгие.

[Феликс Шмидель]

longstreet в сообщении #579931 писал(а):

Любая. Нет такого раз и навсегда установленного понятия как "строгая математическая теория".

Возьмите почти любой книгу или учебник. Например, у меня "Алгебра" Ван дер Вардена на столе лежит. Там излагается математическая теория строго, но неаксиматически.

-- 02.06.2012, 19:17 --

Большинство физических теорий неаксиматизированы. Тем не менее они строгие.

Книга Ван-Дер-Вардена - является образцом простоты и ясности смысла.
Ван-Дер-Варден хорошо знаком с парадоксами теории множеств и знает, что их надо избегать. Более того, он знает, как рассуждать таким образом, чтобы эти рассуждения, в принципе, можно было формализовать. Это делать несложно, потому что в основании рассуждений лежит теория множеств.
Именно это обстоятельство делает рассуждения Ван-Дер-Вардена строгими.

Несколько веков назад, не было строгой теории действительных или комплексных чисел.
В то время, рассуждения в анализе не были строгими и часто приводили к ошибочным результатам.

Понятие "строгая математическая теория" существует. Это формальная теория.
Перевод математического текста с обычного языка на формальный это трудоёмкий процесс, который осуществляется далеко не всегда.
Тем не менее, многие математические утверждения и доказательства уже переведены на формальные языки и проверены компьютером.

[longstreet]

Феликс Шмидель в сообщении #579949 писал(а):

Понятие "строгая математическая теория" существует. Это формальная теория.

Нет. Можно формализовать и нестрогую теорию. (Например, в ней могут содержаться противоречия.)

Понятие "строгости математической теории" меняется со временем.

-- 02.06.2012, 20:56 --

И совсем не обязательно для формализации, чтобы теория основывалась на теории множеств.

[Феликс Шмидель]

longstreet, поймите, что аксиомы являются определением вводимых понятий. Любое математическое определение порождает аксиому - утверждение верное по определению, которое используется в доказательствах. Без аксиом не обходится ни одно доказательство, просто они не выписываются явно.
Допустим Вы рассуждаете о действительных числах. Откуда Вы знаете что это такое? Определение действительных чисел даётся либо в теории множеств, либо аксиомами действительных чисел.

[longstreet]

Это Вы к чему написали?

-- 02.06.2012, 21:33 --

(Пусть теория содержит две противоречивые аксиомы. Такая теория формальна, но не строга.)

-- 02.06.2012, 21:36 --

(Оффтоп)

Про теорию множеств. Да, математика по большей части на ней основана. Но это не единственный путь. Насколько я знаю, современные математики вполне допускают полный перевод оснований математики с теории множеств на теорию категорий.

[Феликс Шмидель]

longstreet в сообщении #579951 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #579949 писал(а):

Понятие "строгая математическая теория" существует. Это формальная теория.

Нет. Можно формализовать и нестрогую теорию. (Например, в ней могут содержаться противоречия.)

Понятие "строгости математической теории" меняется со временем.

-- 02.06.2012, 20:56 --

И совсем не обязательно для формализации, чтобы теория основывалась на теории множеств.

Понятие "сторогости математической теории" совершенствуется со временем.
Логический вывод из аксиом является образцом математической строгости со времён Евклида.
Этот метод усовершенствовался и стал формальным.
С современной точки зрения, геометрия Евклида не является строгой теорией, потому что геометрические теоремы нельзя формально вывести из аксиом без дополнительных допущений.
После того, как Гильберт пополнил систему аксиом Евклида и формализовал геометрию, она из нестрогой теории превратилась в строгую.
Абсолютно строгая математическая теория это формальная теория с непротиворечивой системой аксиом.
Непротиворечивость системы аксиом можно доказать, если не абсолютную, то относительную.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[longstreet]

Ну вот. Вы же видите что Ваше определение неверно, оно уже расплылось: добавились "с непротиворечивой" и какое-то выдуманное "абсолютно". И т.д.

-- 03.06.2012, 12:54 --

Формальная аксиоматизация $-$ это скорее проверка на строгость, чем создание строгости.

-- 03.06.2012, 12:57 --

И я уже указывал, что многие физические теории строгие, хотя не аксиоматизированы.

[Феликс Шмидель]

Давайте определимся с понятием строгости.
Я понимаю под этим, что форма текста подчиняется строгим правилам.
А Вы считаете, что строгость связана со смыслом?

[longstreet]

Феликс Шмидель в сообщении #580170 писал(а):

Я понимаю под этим, что форма текста подчиняется строгим правилам.

Типа как в стихотворениях, не? Что за "форма текста"?

[Феликс Шмидель]

longstreet в сообщении #580173 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #580170 писал(а):

Я понимаю под этим, что форма текста подчиняется строгим правилам.

Типа как в стихотворениях, не? Что за "форма текста"?

Например, перед тем как ввести новое понятие, ему надо дать определение через понятия введённые ранее.
Это правило не зависит от смысла вводимых понятий, поэтому оно определяет форму математического текста.

[longstreet]

Бурбакист Ж. Дьедонне в книге "Линейная алгебра и элементарная геометрия" писал:

Цитата:

Со времен Аристотеля, если не с еще более давних, хорошо известно, что в основе любой науки лежит то, что можно было бы назвать "принципом намеренно неполного знания": абстракция и обобщение как раз и состоят в том, что определенные свойства рассматриваемых объектов систематически игнорируются. Аксиоматический метод в математике представляет собой не что иное, как применение этого принципа; он отличается от других ситуаций (в которых работает этот принцип) лишь тем, что все свойства, которые математик не склонен игнорировать, т.е. которые он ж е л а е т признать присущими изучаемым объектам, заботливо и и с ч е р п ы в а ю щ е перечисляются $-$ и в дальнейшем з а п р е щ а е т с я опираться на что-либо, кроме этих свойств ("аксиом") и правил логики.

То есть, аксиоматический метод $-$ это явное выписывание рамок абстрагирования.

Это же может быть сделано и неявно. От одного лишь выписывания теория строгой не становится.

-- 03.06.2012, 13:49 --

Я считаю, что математические теории и теоремы могут быть строгими или нестрогими уже будучи представленными в виде прототипов формальных доказательств. Обычно на прототипах и останавливаются. Полностью формальные доказательства очень громоздкие и скрывают суть. То, что очевидно для человека, может быть очень громоздким (для формального вывода из аксиом) для компьютера.

[Феликс Шмидель]

longstreet в сообщении #580180 писал(а):

Бурбакист Ж. Дьедонне в книге "Линейная алгебра и элементарная геометрия" писал:

Цитата:

Со времен Аристотеля, если не с еще более давних, хорошо известно, что в основе любой науки лежит то, что можно было бы назвать "принципом намеренно неполного знания": абстракция и обобщение как раз и состоят в том, что определенные свойства рассматриваемых объектов систематически игнорируются. Аксиоматический метод в математике представляет собой не что иное, как применение этого принципа; он отличается от других ситуаций (в которых работает этот принцип) лишь тем, что все свойства, которые математик не склонен игнорировать, т.е. которые он ж е л а е т признать присущими изучаемым объектам, заботливо и и с ч е р п ы в а ю щ е перечисляются $-$ и в дальнейшем з а п р е щ а е т с я опираться на что-либо, кроме этих свойств ("аксиом") и правил логики.

То есть, аксиоматический метод $-$ это явное выписывание рамок абстрагирования.

Это же может быть сделано и неявно. От одного лишь выписывания теория строгой не становится.

-- 03.06.2012, 13:49 --

Я считаю, что математические теории и теоремы могут быть строгими или нестрогими уже будучи представленными в виде прототипов формальных доказательств. Обычно на прототипах и останавливаются. Полностью формальные доказательства очень громоздкие и скрывают суть. То, что очевидно для человека, может быть очень громоздким (для формального вывода из аксиом) для компьютера.

Cовершенно с Вами согласен. Доказательства пишут на обычном языке, достаточно уверенности, что их можно перевести на формальный язык.
Этого достаточно для того, чтобы доказательство было строгим.
Если понимать строгость так, то не следует путать её с формальностью.
Что касается аксиом, то их можно не выписывать в обычном доказательстве, потому что они очевидны для человека.
И я согласен с приведённой Вами цитатой, что набора аксиом не достаточно для полного определения математических понятий, о том же говорит и теорема Гёделя о неполноте.
При необходимости, доказательство переводят на формальный язык высокого уровня, с помощью компьютера, который сам проводит недостающие логические выкладки и доводит доказательство до полной формализации.
После этого, компьютер может напечатать проверенное доказательство на формальном языке логики первого порядка.

[longstreet]

Феликс Шмидель в сообщении #580456 писал(а):

Если понимать строгость так, то не следует путать её с формальностью.

Вот и не путайте. Это единственный рациональный способ понимания строгости.

Феликс Шмидель в сообщении #580456 писал(а):

Что касается аксиом, то их можно не выписывать в обычном доказательстве, потому что они очевидны для человека.

Нет. Дело не в аксиомах. Дело в выводимости из них теорем по набору правил. Это может быть легко для человека, но громоздко компьютеру.

Феликс Шмидель в сообщении #580456 писал(а):

И я согласен с приведённой Вами цитатой, что набора аксиом не достаточно для полного определения математических понятий, о том же говорит и теорема Гёделя о неполноте.

Вы что-то путаете. В приведённой мной цитате этого нет.

-- 03.06.2012, 21:47 --

Вообще, моя основная претензия к изложенному Вами заключается в следующем. От прочитанного создается то ложное понимание, будто бы аксиоматика, строгость, формализм, выводимость, и подобное составляет основу и суть математики. Это не так! Методология математики от методологии других наук в существенном не отличается. Логика $-$ так вообще одна на всех. Ваше претензия на "Логика и методология математики" не отражает сути.

В математике точно так же есть долгий путь смутных исканий, в темноте, наощупь, догадками и интуицией. И важно себе представлять как далеко до строгой записи. Никакая теория не начинает жизни с аксиом (только некоторые упражнения-игры, которые составляют пренебрежимо малую часть математики). Это самое завершение её постройки.

То, что Вы написали $-$ это скорее о том, как должна оформляться математическая работа и почему именно так.