Имеет ли смысл квантование гравитации?

[aklimets]

Известный физик И.Я. Френкель относился к квантованию гравитации весьма скептически. Это ясно показывает рукопись статьи «Принцип причинности и полевая теория материи» (Личный архив В.Я. Френкеля), которую Я.И. Френкель подготовил для сборника, посвященного Эйнштейну и вышедшего в США в 1949 г. Вопросу квантования гравитации в этой статье уделен почти целиком параграф «Ядерное и гравитационное поля». Автор анализирует точку зрения, согласно которой гравитационное поле, «или, во всяком случае, та (слабая) часть его, которая образует гравитационные волны, может быть квантована, чему должно соответствовать появление соответствующих частиц — гравитационных квантов, или гравитонов» и указывает: «А. Эйнштейн был, вероятно, первым, кто указал на связь между гравитационными волнами и соответствующими частицами (в беседе с автором в 1925 г.). Подробное математическое исследование этого вопроса было опубликовано в нашей стране М. Бронштейном в 1936 г. Результаты Бронштейна недавно развил Д. Д. Иваненко».
Однако Я. И. Френкель выразил несогласие с такой точкой зрения, считая аналогию между гравитационным и электромагнитным полями весьма поверхностной. Его аргументы состояли в том, что «электромагнитное поле представляет собой материю», а гравитационное лишь определяет метрические свойства пространственно-временной протяженности; что, «строго говоря, таких вещей, как гравитационная энергия или им-пульс, не существует, так как соответствующие им величины не образуют настоящего тензора, а являются лишь псевдотензором» (в этом же Я. И. Френкель видит причину неудач многих попыток сведения теории обоих полей в единую теорию поля). Попытки квантовать гравитацию он считает бессмысленными, поскольку «гравитационное поле имеет макроскопический, а не микроскопический смысл, обусловливая лишь некоторую рамку для описания физических событий в пространстве и времени, тогда как квантование относится лишь к микроскопическим процессам в материальных полях».
Сомнения в синтезе квантовых и общерелятивистских идей вызываются особой — геометрической — природой гравитационного поля, отождествлением его с метрикой пространства-времени, а также очевидной малостью эффектов гравитации в микромире. В 60-е годы Розенфельд высказывал мнение, что квантовать гравитационное поле бессмысленно, поскольку оно имеет, возможно, чисто классическую макроскопическую природу. А ведь Розенфельд был первым, кто рассматривал квантование гравитации на языке формул. [26]
Я присоединяюсь к указанной точке зрения. В своей статье, посвященной квантованию ОТО, я показал, что можно условно проквантовать слабое гравитационное поле. Однако квантовать сильное гравитационное поле принципиально невозможно. Такое заключение надо принять, как аксиому. И это очень важный вывод. Имеет ли после такого заключения смысл развивать такие спекулятивные направления, как теория струн или петлевая квантовая теория гравитации?

[Munin]

aklimets в сообщении #579768 писал(а):

Имеет ли смысл квантование гравитации?

1. Имеет.
2. Для вас - нет.

aklimets в сообщении #579768 писал(а):

Известный физик И.Я. Френкель относился к квантованию гравитации весьма скептически.

Всем разрешено ошибаться, и известным физикам - тоже.

aklimets в сообщении #579768 писал(а):

«Подробное математическое исследование этого вопроса было опубликовано в нашей стране М. Бронштейном в 1936 г.»

aklimets в сообщении #579768 писал(а):

А ведь Розенфельд был первым, кто рассматривал квантование гравитации на языке формул.

Взаимно-противоречивые параграфы.

aklimets в сообщении #579768 писал(а):

Я присоединяюсь к указанной точке зрения.

Ну надо же. Все должны трепещать и падать ниц.

[aklimets]

В своей статье я показываю, что если внутреннее поле тяготения источника слабо, то линеаризованная теория гравитационного поля справедлива во всем пространстве. Но что будет, если поле тяготения сильное? Справедлива ли в этом случае операция интегрирования уравнения Эйнштейна ? Какого рода геометрический объект представляет собой 4-импульс Pi или величина Ri ? Он определяется с помощью измерений, выполненных в относительной удаленности от источника (например, черной дыры), где с увеличением расстояния пространство-время становится все более плоским (асимптотически плоским). Поэтому величины P i и R i можно рассматривать как i -компоненты 4-импульсов материи и гравитационного поля в "асимптотически плоском пространстве-времени", окружающем источник в асимптотической лоренцевой системе отсчета, где справедливо линеаризованное уравнение Эйнштейна.

Таким образом, в окрестности области с любой, как угодно сложной динамикой, если только с некоторой точностью геометрия асимптотически плоская, имеет смысл с той же точностью говорить о полном 4-векторе энергии-импульса динамической области Р и ее полном собственном моменте импульса S . Параллельный перенос каждого из этих векторов по любой замкнутой кривой в плоской области оставляет их неизменными. Более того, он не зависит от того, насколько сильны отклонения от плоского пространства-времени в динамической области (черные дыры, коллапсирующие звезды, интенсивные гравитационные волны и т.д.); вдали кривизна будет слабой и 4-импульс и момент импульса будут обнаружены по их отпечаткам на геометрии пространства-времени.

Интегрирование же уравнений сильного (нелинейного) гравитационного поля Эйнштейна вблизи от источника в общей теории относительности (не линеаризованных) не определено по той простой причине, что надо просуммировать вклады от компонентов G ik и T ik . Но последние зависят от выбора базиса (системы отсчета) на многообразии. Кривизна здесь играет решающую роль, т.к. на многообразии с ненулевой кривизной (т.е. вблизи от источника) невозможно ввести единую ("выделенную") систему координат, в отличие от плоского пространства.
Поэтому, чтобы просуммировать интегральные суммы по какой-то области, необходимо найти определенное соответствие между значениями G ik и T ik в точках этой области, принадлежащим вообще говоря различным расслоениям. Единственная возможность сделать это - это совершать параллельный перенос G ik и T ik из одной точки в другую, пока не просуммируется вся интегральная сумма.
Но процедура параллельного переноса единственна только в плоском пространстве, тогда как на многообразии ненулевой кривизны она будет зависеть от пути переноса.
Эта неопределенность при интегрировании приводит к тому, что не существует квантовой теории для сильного гравитационного поля вблизи от источника и найденное уравнение для слабого (линейного) гравитационного поля оказывается основным и единственным уравнением квантовой теории гравитации.

[Munin]

Будьте добры переписать все формулы в принятой на форуме системе. Вместо T ik пишете $T_{ik}$, и получается $T_{ik}.$ Кроме того, приводите определения, или хотя бы названия для упоминаемых вами величин, поскольку они не всегда стандартные.

[aklimets]

Выше величина $G_{ik}$ - это тензор Эйнштейна, равный

$G_{ik} = R_{ik} - 1/2 g_{ik}R$

$R_{ik}$ - тензор Риччи или упрощенный тензор кривизны.
Уравнение Эйнштейна можно записать как

$G_{ik} = \frac{8\pi k}{c^4}{T_{ik}$

k - гравитационная постоянная.
Если внутреннее поле тяготения источника слабо (или взяв достаточно удаленную поверхность интегрирования), это уравнение можно проинтегрировать по гиперповерхности $S^k$. В итоге получим

$R_i = \frac{2k}{c^3}{P_i}$

где ${P_i}$ - 4-импульс материи, ${R_i}$ - с точностью до числового множителя 4-импульс слабого гравитационного поля. Смотрите, например, "Теория поля", Ландау, Лифшиц, 2003, с.470.
Заменив в последнем уравнении величины ${R_i}$ и ${P_i}$ на их операторы, и действуя на волновую функцию $\psi$ получим квантовомеханическое уравнение Эйнштейна для слабого гравитационного поля в асимптотически плоском пространстве-времени. В координатном представлении величина ${R_i}$ останется без изменения, а величина 4-импульса материи ${P_i}$ примет вид частной производной от $\psi$ по $x^i$. Нетрудно видеть, что фундаментальная планковская длина $\frac{kh}{c^3}$ здесь получается автоматическим образом, где h - постоянная Планка.
Однако все это справедливо для слабого гравитационного поля. Для сильного поля квантового решения, как я показал выше, принципиально не существует, так как для сильного поля уравнение Эйнштейна не интегрируется. Поэтому квантование гравитационного поля смысла не имеет.

[Munin]

Спасибо, теперь читабельней.

Но вы путаете импульс и канонический импульс. Канонические импульсы в случае теории поля с импульсом как сохраняющейся величиной уже ничего общего не имеют, просто слово одно и то же, по историческим причинам.

-- 02.06.2012 18:11:14 --

aklimets в сообщении #579867 писал(а):

Для сильного поля квантового решения, как я показал выше, принципиально не существует

Нет, не показали. Максимум, вы показали, что его не существует в указанном вами смысле. Но задача квантования ставится не обязательно именно таким образом.

[aklimets]

Подчеркну слова Френкеля

aklimets в сообщении #579768 писал(а):

«строго говоря, таких вещей, как гравитационная энергия или импульс, не существует, так как соответствующие им величины не образуют настоящего тензора, а являются лишь псевдотензором»

Почему, понятно хотя бы из сказаного мной по поводу интегрирования. Отсюда и соответствующий вывод относительно квантования гравитации. Каким еще образом можно подходить к квантованию?

[lek]

aklimets в сообщении #579867 писал(а):

Заменив в последнем уравнении величины и на их операторы, и действуя на волновую функцию получим квантовомеханическое уравнение Эйнштейна для слабого гравитационного поля в асимптотически плоском пространстве-времени.

Не получим. Точнее получим теорию, которая не имеет ничего общего с квантовой гравитацией даже в таком ослабленном варианте.

Дело в том, что для 10 независимых полей $g_{\mu\nu}$ имеется лишь 6 независимых уравнений движения, т.е. уравнения движения вырождены. Для снятия вырождения нужно наложить 4 дополнительных условий. Обычно эта процедура интерпретируется как конкретизация системы координат. С точки зрения калибровочной теории (а гравитация таковой является) это переход к некоторой калибровке в лагранжевом формализме. Таким образом, наличие калибровочной инвариантности действия Эйнштейна свидетельствует о том, что данная теория является особенной (или теорией со связями). Вы же это совершенно не учитываете.

Примером дополнительных условий, обеспечивающих здесь жесткую калибровку, могут являться следующие: $\partial_{i}g_{i\mu}=0$, ($i\ne0$). Из-за сложной нелинейной структуры связей явное построение физического гамильтониана в гравитации оказывается невозможным (именно это является препятствием для квантования теории). По этой же причине нельзя построить и операторную формулировку.

Указанные трудности исчезают в квадратичном приближении по $h_{\mu\nu}$ (здесь $h_{\mu\nu}$ - отклонение метрики $g_{\mu\nu}$ от метрики Минковского), которое можно считать теорией слабого гравитационного поля. Особенно просто проквантовать гравитационное поле можно в асимтотически плоском пространстве. В нем метрика $g_{ik}=-\delta_{ik}(1+M/8\pi r)+O(1/r^2)$ (Фаддеев, 1982), где $M$ - полная масса. В этом случае уравнения связей легко разрешаются и построение физического гамильтаниана не вызывает проблем.

Таким образом открывать и доказывать здесь ничего не надо. Все уже известно. Подробности можно найти в книге "Каноническое квантование полей со связями" Гитмана-Тютина.

[aklimets]

Ну интересно, и что же нового Вы сказали. Повторили то же, что и я говорил. Про 4 дополнительных условия при выборе системы отсчета для слабого поля для упрощения выражения для тензора Риччи также известно. Смотри Ландау-Лифшиц. Остается так называемый даламбертиан. Он и интегрируется. С точностью до числового множителя получаем гравитационный импульс $R_i$. Он имеет размерность длины. Я его отождествляю с радиусом кривизны пространства-времени. Иного варианта нет.
Суть в другом. Квантование гравитационного поля подразумевает, что существуют кванты поля, обладающие энергией и импульсом. Для слабого поля это так. Указанный Вами Фаддев это подтверждает. Но оказывается, что для сильного поля понятие "энергия-импульс" для квантов поля не существует в связи с псевдотензорным характером энергии-импульса гравитационного поля, то есть сами кванты поля отсутствуют. Для сильного поля это понятие бессмысленное. Все. На этом можно ставить точку. Приехали. Что и требовалось доказать.
Но в рамках моего последнего операторного уравнения для слабого поля (справедливое, как я думаю, и для сильного поля в малой области пространства-времени) можно получить соотношение неопределенностей между радиусом кривизны (импульсом гравиполя) и координатой, а именно

$\delta{R_i}\delta{x_i} \ge{l^2}$

где $l^2$ - квадрат планковской длины.

О чем это говорит. Из полученного соотношения неопределенностей следует, что не существует такого эксперимента, с помощью которого можно было бы отличить квантованное гравитационное поле от неквантованного. То есть не существует такого эксперимента, который позволил бы выяснить, классическим или квантовым характером обладает гравитационное поле, существуют гравитоны или нет. Чтобы отличить классическое поле от квантового, необходимо иметь возможность измерять длины, меньшие планковской длины. Но ниже планковской длины операции измерения теряют смысл. Тем самым гравитация оказывается по ту сторону законов классической и квантовой теорий. Общая теория относительности стоит уже по ту сторону противоположностей между классической и квантовой физикой.

[lek]

aklimets в сообщении #579970 писал(а):

Ну интересно, и что же нового Вы сказали. Повторили то же, что и я говорил.

Книга на которую я сослался вышла в 1986 году, а журнальные публикации и того раньше. Да и сделано там было все корректно, не как у вас. Поэтому прежде чем претендовать на что-то, потрудитесь изучить хотя бы то, что сделали до вас.

[aklimets]

Указанная книга Фаддева мне неизвестна, но как я понял, она не противоречит сказанному. Никто не спорит, что слабое гравитационное поле можно проквантовать. Речь идет о сильном поле.
Еще раз. Вдали от тела поле слабое. Это значит, что метрика пространства-времени почти галилеева. Тогда уравнение Эйнштейна можно проинтегрировать по трехмерной гиперповерхности $S^{k}$, предварительно умножив каждую его сторону на квадратный корень из определителя метрического тензора. В итоге получим

$R_{i} = \frac{2 k}{c^3}P_{i}$

где $P_{i}$ - 4-импульс материи, $R_{i}$ - с точностью до числового множителя 4-импульс слабого гравитационного поля (радиус кривизны пространства-времени).
Так как поле слабое, линейное, мы можем это уравнение переписать в операторном виде

$R_{i}{\psi} = {-i}\frac{2kh}{c^3}{\partial_{i}{\psi}}$

или

$R_{i}{\psi} = {-i}{2l^2}{\partial_{i}{\psi}}$

где $l$ - планковская длина $10^{-33}$ см
По сути дела, последнее уравнение является определением оператора импульса слабого гравитационного поля, т.е.

$R_{i} = {-i}{2l^2}{\partial_{i}$

Тогда скобка Пуассона между гравитационным 4-импульсом $R_{i}$ и координатой $x^{i}$ будет иметь вид

$[R_{i},x^{i}] = - 2il^{2}$

и, соответственно, соотношение неопределенностей между гравитационным импульсом (радиусом кривизны) и координатой имеет вид

$\delta{R_i}\delta{x^i}\ge{l^2}$

где $l$ - фундаментальная планковская длина
Я считаю это соотношение неопределенности справедливым и в малой области пространства-времени для сильного гравитационного поля, где оно является почти галилеевым.
Далее повторюсь. Из полученного соотношения неопределенностей следует, что не существует такого эксперимента, с помощью которого можно было бы отличить квантованное гравитационное поле от неквантованного. То есть не существует такого эксперимента, который позволил бы выяснить, классическим или квантовым характером обладает гравитационное поле, существуют гравитоны или нет. Чтобы отличить классическое поле от квантового, необходимо иметь возможность измерять длины, меньшие планковской длины. Но ниже планковской длины операции измерения теряют смысл. Тем самым гравитация оказывается по ту сторону законов классической и квантовой теорий. Общая теория относительности стоит уже по ту сторону противоположностей между классической и квантовой физикой.

[lek]

aklimets в сообщении #580103 писал(а):

Указанная книга Фаддева мне неизвестна,

Речь шла о монографии Д. Гитмана и И. Тютина (причем здесь Л. Фаддеев?). Это хорошо известные специалисты в области квантовой теории поля. Первый заведует кафедрой в одном из западных университетов, а второй работает в ФИАН. И если вы пытаетесь работать в этой области, то не знать их неприлично.

aklimets в сообщении #580103 писал(а):

но как я понял, она не противоречит сказанному.

Не противоречит в чем? То что вы делаете к квантованию гравитации отношения не имеет. Мало того, что вместо уравнений Эйнштейна вы используете не эквивалентную им систему уравнений (о связях я уж и не говорю), вы вводите новое материальное поле $\psi$, существование которого нельзя оправдать, оставаясь в рамках ОТО. Какой смысл имеет тогда предложенное вами соотношение неопределенностей и в какой физике оно справедливо, совершенно не ясно.

[aklimets]

lek в сообщении #580289 писал(а):

Не противоречит в чем? То что вы делаете к квантованию гравитации отношения не имеет.

Не противоречит в том, что слабое гравитационное поле квантуется. И можно показать, что к квантованию гравитации проинтегрированное уравнение Эйнштейна имеет отношение. Действительно, если условно в уравнение

$R_{i} = \frac{2k}{c^3}P_{i}$

подставить вместо 4-импульса $P_{i}$ его выражение через волновой 4-вектор $k_{i}$, умноженный на постоянную Планка $h$, то получим следующее соотношение

$R_{i} = \frac{2kh}{c^3}k_{i} = 2l^{2}k_{i}$

где $l$ - планковская длина
Таким образом, для слабого гравитационного поля наряду с известными соотношениями для 4-импульса $P_{i} = hk_{i}$ существует аналогичное соотношение для радиуса кривизны пространства-времени $R_{i} = hk_{i}$ или так называемый квант кривизны пространства-времени.
То есть оказывается, что в квантовой теории гравитации для слабого поля квантуется не пространство-время, как обычно предполагается, а кривизна пространства-времени (ее радиус). И это естественно, так как так в уравнении Эйнштейна тензор энергии-импульса связан не с пространством-временем, а с тензором кривизны пространства-времени.

[aklimets]

aklimets в сообщении #580426 писал(а):

Таким образом, для слабого гравитационного поля наряду с известными соотношениями для 4-импульса $P_{i} = hk_{i}$ существует аналогичное соотношение для радиуса кривизны пространства-времени $R_{i} = hk_{i}$ или так называемый квант кривизны пространства-времени.

Ошибка, надо писать $R_{i} =2 l^{2}k_{i}$, где $l$ - планковская длина

[aklimets]

lek в сообщении #580289 писал(а):

вместо уравнений Эйнштейна вы используете не эквивалентную им систему уравнений (о связях я уж и не говорю)

Чтобы показать эквивалентность, ниже я приведу материал из учебника Ландау, Лифшица "Теория поля", 2003, параграфы 105,107,110, с.440-470 из которого следуют мои уравнения.
Итак, вдали от тела поле слабое. Это значит, что метрика пространства-времени здесь почти галилеева. Соответственно этому метрический тензор $g_{ik}$ можно представить в виде

$g_{ik} = g^{(0)}_{ik} + h_{ik}$

где $g^{(0)}_{ik}$ - галилеевы значения метрики, $h_{ik}$ - малые поправки, определяющие гравитационное поле.
При малых поправках $h_{ik}$ символы Кристоффеля тоже малы. Поэтому в тензоре кривизны $R_{iklm}$ можно оставить только члены в первой скобке. И, соотвественно, то же самое в тензоре Риччи $R_{ik}$. Выражение для тензора Риччи можно упростить, воспользовавшись произволом в выборе системы отсчета, наложив на $h_{ik}$ четыре дополнительных условия

$\frac{\partial\psi^k_i}{\partial x^k} = 0$

$\psi^k_j = h^k_i - \frac12\delta^k_ih$

Тогда в тензоре Риччи остается только выражение

$R_{ik} = -\frac12g^{lm(0)}\frac{\partial^2 h_{ik}}{\partial{x^l}\partial{x^m}} = \frac12\Box h_{ik} $

где $\Box$ - оператор д'Аламбера
Уравнения гравитационного поля в пустоте имеют вид

$\Box h_{ik} = 0$

Это обычное волновое уравнение.
Рассмотрим слабое гравитационное поле, создаваемое телами, движущимися со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Благодаря наличию материи уравнения гравитационного поля будут отличаться от простого волнового уравнения наличием членов в правой части, происходящих от тензора энергии-импульса. Напишем их в виде

$\frac12\Box \psi^k_i = \frac{8\pi k}{c^4} \tau^k_i\, \,\,\,\,(1)$

где введены вместо $h_{ik}$ более удобные величины

$\psi^k_j = h^k_i - \frac12\delta^k_ih$

а $\tau^k_i$ условно обозначает дополнительные выражения, получающиеся при переходе в точных уравнениях тяготения к случаю слабых полей в рассматриваемом приближении.
Величины $\psi^k_i$ удовлетворяют условию $\partial_{k}\psi^k_i = 0$. Из (1) следует, что то же уравнение имеет место и для $\tau^k_i}$. Это уравнение заменяет здесь общее соотношение $T^k_{i;k} =0$.
Вдали от тела поле слабое. Это значит, что метрика пространства-времени почти галилеева. Тогда уравнение (1) можно проинтегрировать по трехмерной гиперповерхности $S_k$ , предварительно умножив каждую его сторону на квадратный корень из определителя метрического тензора. В данном случае определитель метрического тензора имеет вид

$g = g^{(0)} (1 + h )$

Получим

$\int\sqrt{-g} \Box\psi^k_idS_k = \frac{16\pi k}{c^4}\int\sqrt{-g}\tau^k_idS_k$

Записывая эти величины как

$\int\sqrt{-G} \Box\psi^k_idS_k = 8\pi R_i$

и

$\frac{16\pi k}{c^4}\int\sqrt{-g}\tau^k_idS_k = \frac{16\pi k}{c^3} P_i$

получаем уравнение (2)

$R_i =\frac{2k}{c^3} P_i\,\,\,\,\,\,(2)$

где $P_i$ - 4-импульс материи; $R_i$ - радиус кривизны пространства-времени или, с точностью до числового множителя, 4-импульс слабого гравитационного поля $h$.
Таким образом, уравнения (2) вполне эквивалентны уравнениям Эйнштейна для слабого гравитационного поля. Так как оно линейное, его можно переписать в операторном виде(смотрите посты выше), предварительно умножив на волновую функцию $\phi$.

lek в сообщении #580289 писал(а):

вы вводите новое материальное поле $\psi$ , существование которого нельзя оправдать, оставаясь в рамках ОТО.

Волновая функция $\phi$ это не новое материальное поле. Это квантовомеханическая амплитуда вероятности, "поле-призрак", оно никак не может быть материальным. И здесь уже получаются не рамки ОТО, а квантование гравитационного поля $h$ на фоне 4-мерного плоского пространства-времени.
А из уравнения (2), записанного в операторном виде, как я показал несколькими постами выше, следует новое соотношение неопределенностей

$\Delta R_i\Delta x^i\ge l^2_{pl}$

что и требовалось. И в чем же здесь неэквивалентность?