Чем определяется истинность арифметических утверждений?

[Kallikanzarid]

Феликс Шмидель в сообщении #578201 писал(а):

Истинность арифметических утверждений в разных моделях разная, но нестандартные модели не соответствуют интуитивному пониманию натурального ряда.

Ну возьмите конечные ординалы и радуйтесь, в чем проблема?

[Феликс Шмидель]

Kallikanzarid в сообщении #579266 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #578201 писал(а):

Истинность арифметических утверждений в разных моделях разная, но нестандартные модели не соответствуют интуитивному пониманию натурального ряда.

Ну возьмите конечные ординалы и радуйтесь, в чем проблема?

Я не понял Вашу мысль, не могли бы Вы выразить её по-другому?
Проблема в том, что Гёдель нашёл истинное арифметическое утверждение, которое недоказуемо.
Но если это утверждение недоказуемо, то откуда известно, что оно истинно?
Его истинность следует из истинности другого недоказуемого утверждения о непротиворечивости системы аксиом.
Но последнее утверждение, очевидно истинно, при условии, что аксиомы истинны.

[Kallikanzarid]

Феликс Шмидель в сообщении #579270 писал(а):

Проблема в том, что Гёдель нашёл истинное арифметическое утверждение, которое недоказуемо.

Возьмите учебник и почитайте, что на самом деле нашел Гедель.

[Феликс Шмидель]

Kallikanzarid в сообщении #579296 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #579270 писал(а):

Проблема в том, что Гёдель нашёл истинное арифметическое утверждение, которое недоказуемо.

Возьмите учебник и почитайте, что на самом деле нашел Гедель.

Гёдель нашёл такое арифметическое утверждение $G$, что утверждение "$G\Longleftrightarrow \neg Prov(\#G)$" является теоремой в арифметике $PA$.
Утверждение $G$ является истинным арифметическим утверждением, которое недоказуемо в арифметике PA, при условии её непротиворечивости.
Что здесь неправильно? Почему Вы посылаете меня к учебникам?

[Kallikanzarid]

Феликс Шмидель в сообщении #579319 писал(а):

Гёдель нашёл такое арифметическое утверждение $G$, что утверждение "$G\Longleftrightarrow \neg Prov(\#G)$" является теоремой в арифметике $PA$.
Утверждение $G$ является истинным арифметическим утверждением, которое недоказуемо в арифметике PA, при условии её непротиворечивости.

Но оно доказуемо в ZFC, не?

[Феликс Шмидель]

Kallikanzarid в сообщении #579353 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #579319 писал(а):

Гёдель нашёл такое арифметическое утверждение $G$, что утверждение "$G\Longleftrightarrow \neg Prov(\#G)$" является теоремой в арифметике $PA$.
Утверждение $G$ является истинным арифметическим утверждением, которое недоказуемо в арифметике PA, при условии её непротиворечивости.

Но оно доказуемо в ZFC, не?

Да, потому что в $ZFC$ доказуема непротиворечивость арифметики $PA$ (теорема Генцена).
Но непротиворечивость самой $ZFC$ и утверждение Гёделя для $ZFC$ недоказуемы в $ZFC$.
И возникает вопрос: что определяет истинность этих арифметических утверждений?

[Kallikanzarid]

Феликс Шмидель в сообщении #579380 писал(а):

Да, потому что в $ZFC$ доказуема непротиворечивость арифметики $PA$ (теорема Генцена).

Повод для радости, не? :)

Феликс Шмидель в сообщении #579380 писал(а):

И возникает вопрос: что определяет истинность этих арифметических утверждений?

Практика. Об этом хорошо написано в первом томе Бурбаки.

[VPopov]

Феликс Шмидель в сообщении #578144 писал(а):

Истинность арифметических утверждений объективна и не зависит от каких бы то ни было математических построений, в том числе и от моделей

Истина конкретна, в том числе и "арифметическая", хотя бы потому, что "истину" или "ложь" изрекает субъект. Еще древний грек Протагор утверждал, что "человек есть мера всех вещей", имея в виду лишь следующее: то что каждому кажется, то и достоверно. Но если это так, то выходит, что одно и то же может быть либо истинным, либо ложным, т. е. в объективном смысле - некая модель (высказывание) либо существует,либо не существует. Поэтому, аксиоматика формальной логики без закона достаточного основания (Лейбниц) распадается на два класса утверждений (равно, и отрицаний) -истинных и ложных с вероятностью 50/50.

[Феликс Шмидель]

VPopov,

Скажите, согласны ли Вы с тем, что истинность арифметических утверждений о несуществовании решений диофантовых уравнений, предопределена и не зависит от принимаемых аксиом?

[VPopov]

Феликс Шмидель в сообщении #582535 писал(а):

VPopov,

Скажите, согласны ли Вы с тем, что истинность арифметических утверждений о несуществовании решений диофантовых уравнений, предопределена и не зависит от принимаемых аксиом?

Своевременный вопрос, но ответ на него будет не тот, которого бы Вы хотели. Возьмем простейший случай: диофантово у-е первой степени $ax+by=1$, где a и b - простые числа. Но на самом деле это высказывание вовсе не уравнение, а, так сказать, пожелание (или неразрешимость, если выражаться матязыком, т. е. оно не обладает никаким истинностным значением - ни истиной, ни ложью). Следующим вопросом, на мой взгляд, должен быть такой: а почему это высказывание не обладает истинностным значением и, следовательно, не подпадает под законы классической формальной логики? Потому что в нем заданы одни лишь начальные (или необходимые) условия существования. А именно: a и b - простые числа и сумма их произведений с какими-то неизвестными x и y должна равняться единице. Разрешимым, т. е. истинным или ложным это семейство уравнений делают граничные условия. Например, $x=2$ Лишь после этого мы можем оценить конкретное решение (модель), как истинное (если мы не ошиблись в арифметике), или как ложное (если некто при его решении ошибся).
Так что, как видите, истина, как и ее отрицание -ложь, конкретна.

[Феликс Шмидель]

VPopov в сообщении #582631 писал(а):

Возьмем простейший случай: диофантово у-е первой степени $ax+by=1$, где a и b - простые числа. Но на самом деле это высказывание вовсе не уравнение, а, так сказать, пожелание (или неразрешимость, если выражаться матязыком, т. е. оно не обладает никаким истинностным значением - ни истиной, ни ложью).

Я говорил о диофантовых уравнениях без параметров.
Например, уравнение $3x+5y=1$ не имеет решений в натуральных числах (а в целых имеет).
Утверждение, что это уравнение не имеет решений в натуральных числах истинно.

[VPopov]

Я так понимаю, что любое диафантово уравнение имеет бесконечное число виртуальных решений, но до тех пор, пока решатель не выдаст данные (ограничения) на какое-то одно из его неизвестных - x или y неважно, оно являет собой очередную алгоритмически неразрешимую проблему.

[Феликс Шмидель]

VPopov в сообщении #582764 писал(а):

Я так понимаю, что любое диафантово уравнение имеет бесконечное число виртуальных решений, но до тех пор, пока решатель не выдаст данные (ограничения) на какое-то одно из его неизвестных - x или y неважно, оно являет собой очередную алгоритмически неразрешимую проблему.

Математики уверены, что уравнение $3x+5y=1$ не имеет решений в натуральных числах без наложения каких-либо ограничений на $x$ и $y$.