Идеалы.Матрицы.Кольца

[jek239]

1)Пусть $R - такое коммутативное кольцо с 1, в котором каждый идеал является главным. Доказать, что для любого идеала $a кольца $R каждый идеал факторкольца $R/$a тоже является главным.
Спасибо.
2)Доказать, что множества матриц, все элементы которых лежат в фиксированном идеале кольца $A с 1,и только такие множества, являются идеалами в $A^{n*n}

[Joker_vD]

Есть очень простой и очень полезный факт: между идеалами кольца $R$, содержащими идеал $\mathfrak a$, и идеалами кольца $R/\mathfrak a$ существует взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее включения.

[jek239]

Да, согласен, спасибо, а какие идеи по доказательству этого факта?
Плюс нам еще нужно доказать, что они будут главными...

[Joker_vD]

jek239 в сообщении #565564 писал(а):

Плюс нам еще нужно доказать, что они будут главными...

Если $(a)\subset R$, то какой идеал в $R/\mathfrak a$ ему соответствует?

[jek239]

Возможно ($a)+1?

[Joker_vD]

А что это такое, $(a)+1$?

При факторизации элементы $R$ "склеиваются" в элементы из $R/\mathfrak a$. Если вы возьмете идеал $\mathfrak b\supset\mathfrak a$, то при факторизации его элементы образуют множество $\overline{\mathfrak b}\subset R/\mathfrak a$. Это множество будет идеалом в $R/\mathfrak a$!

-- Вс апр 29, 2012 22:51:48 --

Ну и, соответственно, если вы возьмете идеал в $R/\mathfrak a$ и "расклеите" его элементы, вы получите идеал в $R$, причем он будет содержать идеал $\mathfrak a$ — он появляется при "расклеивании" нуля.

[jek239]

Спасибо, попробую осмыслить)!
По поводу второй задачи нет мыслей?...

[Joker_vD]

По второму... вправо это практически очевидно (проверить в лоб по определению идеала). А вот влево... влево мне надо еще чуть подумать, я эту задачу только сейчас увидел.

-- Вт май 01, 2012 15:59:01 --

А влево тоже просто. Использование матричных единиц дает нам, что элементы, стоящие на $(i,j)$-ой позиции этих матриц образуют идеал. Это $n^2$ идеалов, и используя матрицы для элементарных преобразований, мы можем показать, что они все совпадают.

[jek239]

Блин, не могу понять первую...не могли бы вы попробовать еще раз объяснить.Спасибо.

[Joker_vD]

Берем идеал $\mathfrak c$ факторкольца $R/\mathfrak a$, берем его прообраз $\mathfrak b=\pi^{-1}(\mathfrak c)$ при действии канонического гомоморфизма $\pi\colon R\to R/\mathfrak a$, $\mathfrak b=(b)$ т.к. $R$ — кольцо главных идеалов. Осознать, что $\mathfrak c$ и $(\pi(b))$ — одно и то же.

[jek239]

Подскажите, пожалуйста, по подробней, про доказательство второй задачи налево.Спасибо!