Разложение в ряд функции Лагранжа

[yerzhik]

Здравствуйте, вопрос такой.
Из 1го тома Теоретической физики Ландау Лифшиц, Механика Параграф 4
Рассматриваются две инерциальные системы отсчета $K$ и $K\prime$, где система $K$ движется относительно системы $K\prime$ с бесконечно малой скоростью $ \varepsilon $.
Получается: $v\prime = v + \varepsilon$.

Далее рассматривают выражение:
$ L\prime = L(v\prime^2) = L(v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2) $

Разлагая это выражение в ряд по степеням $\varepsilon$ и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получаем:
$L(v\prime^2) = L(v^2) + \frac{d L}{d v^2 }2v\varepsilon$

Вопрос такой, каким образом произвели разложение в ряд?
Насколько я понимаю, разложение по степеням $\varepsilon$ происходит по формуле:
$\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k$, где в нашем случае
$f = L(v^2, \varepsilon), x = \varepsilon, a = 0$, ведь так?

Таким образом, если расписать, то выходит:
$ L(v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2) = L(v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2)|_{\varepsilon = 0} + \frac{d L(v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2)}{d \varepsilon}|_{\varepsilon=0} \varepsilon + \frac{d^2 L(v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2)}{d \varepsilon ^2}|_{\varepsilon=0} \frac{\varepsilon^2}{2!}+ $...

Если выкинуть бесконечно малые высших порядков, то получим:
$ L(v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2) \approx L(v^2) + \frac{d L(v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2)}{d \varepsilon}|_{\varepsilon=0} \varepsilon$

Поправьте меня, если я ошибся пожалуйста. Непонятно каким образом из производной по $\varepsilon$ получили производную по $v^2$
то есть следующее:
$\frac{d L(v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2)}{d \varepsilon}|_{\varepsilon=0} \varepsilon = \frac{d L}{d v^2 }2v\varepsilon $.

Насколько я понимаю, разложение по степеням $\varepsilon$ значит, что и производные будем брать по $\varepsilon$, а в учебнике производная берется по $v^2$

помогите разобраться.

[espe]

Например так

$ \frac{d L(v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2)}{d \varepsilon}|_{\varepsilon=0} \varepsilon =\frac{d L(v^2)}{d v^2}\frac{d (v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2)}{d \varepsilon}|_{\varepsilon=0} \varepsilon = \frac{d L}{d v^2 }2v\varepsilon $.

[Himfizik]

yerzhik в сообщении #578317 писал(а):

Вопрос такой, каким образом произвели разложение в ряд?

На Ваш вопрос вроде уже ответили, но вообще, раз ограничиваются только нулевым и первым членом разложения, то достаточно одного определения производной. Выразите из того выражения, которое Вы не могли понять, производную по $v^2$. Не правда ли, получится верное равенство, точнее просто определение этой самой производной (приращение функции, отнесенное к приращению аргумента).

[yerzhik]

espe в сообщении #578326 писал(а):

Например так

$ \frac{d L(v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2)}{d \varepsilon}|_{\varepsilon=0} \varepsilon =\frac{d L(v^2)}{d v^2}\frac{d (v^2 + 2v\varepsilon+ \varepsilon^2)}{d \varepsilon}|_{\varepsilon=0} \varepsilon = \frac{d L}{d v^2 }2v\varepsilon $.

А можно тут поподробнее?

Мне вот что не получается понять:

$\frac{d L((v + \varepsilon)^2)}{d \varepsilon} |_{\varepsilon=0}= \frac{d L((v + \varepsilon)^2)}{d (v + \varepsilon)^2}|_{\varepsilon=0} \frac{d (v + \varepsilon)^2}{d \varepsilon}|_{\varepsilon=0} = \frac{d L((v + \varepsilon)^2)}{d (v + \varepsilon)^2}|_{\varepsilon=0} 2 \varepsilon$
что-то мне здесь не видно производной вида $\frac{dL(v^2)}{d v^2} $
Я так понимаю, что чтобы получилось как в книге, нужно в $\frac{d L((v + \varepsilon)^2)}{d (v + \varepsilon)^2}|_{\varepsilon=0}$ подставить $\varepsilon = 0$ и все получится,
Если это действительно верный подход, то вопрос такой - а почему мы имеем право подставлять вместо эпсилона ноль, до взятия производной? Ведь подстановка значения идет после взятия производной? Или в подходе не прав?

[espe]

yerzhik в сообщении #578566 писал(а):

А можно тут поподробнее?

Насколько я помню математику это называется непрерывность функции (или в нашем случае производной функции) $f(y)|_{y\to x}=f(x)$.
Лагранжиан и его производные, как обычно предполагается, являются непрерывными функциями. Поэтому

$$\frac{dL(v_1^2)}{dv_1^2}|_{v_1\to v}=\frac{dL(v^2)}{dv^2}$$

В частности, можно взять $v_1=v+\varepsilon$.

[yerzhik]

espe в сообщении #578608 писал(а):

yerzhik в сообщении #578566 писал(а):

А можно тут поподробнее?

Насколько я помню математику это называется непрерывность функции (или в нашем случае производной функции) $f(y)|_{y\to x}=f(x)$.
Лагранжиан и его производные, как обычно предполагается, являются непрерывными функциями. Поэтому

$$\frac{dL(v_1^2)}{dv_1^2}|_{v_1\to v}=\frac{dL(v^2)}{dv^2}$$

В частности, можно взять $v_1=v+\varepsilon$.

Спасибо! Кажется все понял!