Чем определяется истинность арифметических утверждений?

[Феликс Шмидель]

Согласно теореме Гёделя о неполноте, не всякое истинное арифметическое утверждение можно доказать. Из этого делается вывод, что истинность арифметических утверждений не определяется системой аксиом Пеано.
Но можно ли будет сделать такой вывод, если придать слову "доказательство" более широкий смысл, чем логический вывод из аксиом?
Например, определим множество $D$ арифметических утверждений следующим образом:

1. Аксиомы Пеано принадлежат $D$.
2. Для любого конечного множества $A \subseteq D$ логически выводимые следствия $A$ принадлежат $D$.
3. Для любого выразимого множества $A \subseteq D$ утверждение выражающее непротиворечивость $A$ принадлежит $D$.

Будем считать утверждения, принадлежащие $D$ доказуемыми в новом смысле.
Возможно, найдутся истинные утверждения, которые недоказуемы и в новом смысле. Однако доказательство Гёделя уже не проходит.

[migmit]

Истинность не в теории, а в моделях. А модели бывают разные, с разными истинностями.

[Феликс Шмидель]

migmit в сообщении #578136 писал(а):

Истинность не в теории, а в моделях. А модели бывают разные, с разными истинностями.

Истинность арифметических утверждений объективна и не зависит от каких бы то ни было математических построений, в том числе и от моделей.

[muzeum]

Что означает определение: "утверждение, выражающее непротиворечивость множества"? Каким образом мы будем узнавать, выражает оно непротиворечивость или нет?

[Феликс Шмидель]

muzeum в сообщении #578146 писал(а):

Что означает определение: "утверждение, выражающее непротиворечивость множества"? Каким образом мы будем узнавать, выражает оно непротиворечивость или нет?

Вы правы. Придётся заменить 3. на

3. Для любого разрешимого множества $A \subseteq D$ утверждение выражающее непротиворечивость $A$ принадлежит $D$.

Тогда, множество логических следствий из $A$ будет выразимо предикатом $P(x)$ и непротиворечивость $A$ выражается утверждением "не $P(\# (1=0))$".

[Xaositect]

Во-первых, не ясен вопрос о существовании такого множества, поскольку у Вас третий пункт неприятным образом импредикативен.

[muzeum]

Цитата:

Тогда, множество логических следствий из $A$ будет выразимо предикатом $P(x)$ и непротиворечивость $A$ выражается утверждением "не $P(\# (1=0))$".

Следует ли включить сюда еще и все предложения вида $P(\# (5=11))$? И прочие, аналогично построенные (для каждого предложения, доказуемого из А), а потом проитерировать этот процесс?

[Феликс Шмидель]

muzeum в сообщении #578163 писал(а):

Следует ли включить сюда еще и все предложения вида $P(\# (5=11))$? И прочие, аналогично построенные (для каждого предложения, доказуемого из А), а потом проитерировать этот процесс?

Нет, это не нужно (я имею в виду "не $P(\# (5=11))$"), потому что это утверждение следует из "не $P(\# (1=0))$"

[migmit]

Феликс Шмидель в сообщении #578144 писал(а):

migmit в сообщении #578136 писал(а):

Истинность не в теории, а в моделях. А модели бывают разные, с разными истинностями.

Истинность арифметических утверждений объективна и не зависит от каких бы то ни было математических построений, в том числе и от моделей.

Вы безграмотны.

[Феликс Шмидель]

migmit в сообщении #578173 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #578144 писал(а):

migmit в сообщении #578136 писал(а):

Истинность не в теории, а в моделях. А модели бывают разные, с разными истинностями.

Истинность арифметических утверждений объективна и не зависит от каких бы то ни было математических построений, в том числе и от моделей.

Вы безграмотны.

Моя грамотность не обсуждается. Истинность арифметических утверждений в разных моделях разная, но нестандартные модели не соответствуют интуитивному пониманию натурального ряда.

[migmit]

Феликс Шмидель в сообщении #578201 писал(а):

Истинность арифметических утверждений в разных моделях разная, но нестандартные модели не соответствуют интуитивному пониманию натурального ряда.

Вы уж решите — вы про объективность или про интуитивное понимание?

А если "истинные" по-вашему утверждения будут ложными в некоторых моделях — это оччень странное понимание истинности.

[muzeum]

Действительно,

Цитата:

Нет, это не нужно (я имею в виду "не $P(\# (5=11))$"), потому что это утверждение следует из "не $P(\# (1=0))$"

.
Здесь должен извиниться за неточность в предыдущем посте: я писал просто $P(\# (1=0))$, имея ввиду "не $P(\# (1=0))$".
Но суть не в этом, а в итерации процесса добавления. Предикат Р выписывается по уже данному множеству предложений-аксиом. Например, пусть оно выписывается по всему D (то, что получается для разрешимых подмножеств, будет включаться как логическое следствие, хотя и здесь не все ясно с принципом выделения подмножеств). Если D разрешимо, то это допустимо. Добавление новой формулы приводит к изменению предиката Р и нам придется добавить новую формулу. В итоге мы приходим к некому замыканию исходного множества аксиом относительно нового правила вывода - формула выводится из заданного разрешимого множества аксиом и данного разрешимого множества его следствий. Получаемое замыкание уже не обязано быть разрешимым, и оно таковым не является - по теореме Геделя о неполноте. Таким образом, полученное множество D - неразрешимо. Но тогда для разрешимых множеств А неразрешим вопрос - являются ли они подмножествами D? Следовательно, не определен и ответ на вопрос: принадлежат или не принадлежат D соответствующие формулы.

Впрочем, если определить D не индуктивно (через добавление формул), а как наименьшее подмножество, т.е. пересечение всех множеств, таких что содержат аксиомы и с каждым разрешимым своим подмножеством содержат утверждение о его непротиворечивости. Вопрос о непротиворечивости самого такого множества я оставляю открытым, но если верить в существование стандартной системы теории чисел, то множество всех истинных в ней утверждений является непротиворечивым и удовлетворяет указанному в определении условию. Кстати, для этого множества не действует и теорема Геделя, если Вы именно этого и хотели.

[Феликс Шмидель]

migmit в сообщении #578261 писал(а):

А если "истинные" по-вашему утверждения будут ложными в некоторых моделях — это оччень странное понимание истинности.

Нестандартные модели содержат бесконечно большие "натуральные" числа. Что же странного, что истинные утверждения о несуществовании натуральных чисел, удовлетворяющих некоторому диофантову уравнению могут быть ложными в этих моделях? В них эти "натуральные" числа существуют и являются бесконечно большими.

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #578158 писал(а):

Во-первых, не ясен вопрос о существовании такого множества, поскольку у Вас третий пункт неприятным образом импредикативен.

Определим $D$, по-другому, как пересечение приемлимых множеств арифметических утверждений.
Приемлимое множество содержит аксиомы Пеано и все свои логические следствия, а также утверждения вида "не $P(\#(1=0))$, где предикат $P(x)$ выражает подмножество $B$ этого множества, содержащее аксиомы Пеано и все свои логические следствия, для всех таких выразимых $B$.
Это можно формальзовать в $ZFC$, используя Гёделевскую нумерацию арифметических предикатов, а также две функции истинности, которые считаются заданными: с одним аргументом для утверждений и с двумя аргументами для предикатов $P(x)$, при $x=n$
В формальзации, $D$ представляется как пересечение приемлимых множеств натуральных чисел.

[Феликс Шмидель]

muzeum в сообщении #578146 писал(а):

Что означает определение: "утверждение, выражающее непротиворечивость множества"? Каким образом мы будем узнавать, выражает оно непротиворечивость или нет?

Я напрасно сменил выразимость $A$ на разрешимость. Если $A$ выразимо, то выразимо и множество всех его логических следствий. Поэтому можно оставить первоначальную формулировку 3.
Множество $D$, удовлетворяющее пунктам 1-3 первого поста существует, поскольку им удовлетворяет множество всех арифметических утверждений.
Пунктам 1-3 могут удовлетворять и другие множества $D$, и можно определить минимальное такое $D$, как пересечение всех этих множеств.
Вместо "утверждения, выражающего непротиворечивость $A$" в пункте 3. можно говорить об утверждениях, выражающих здравость $A$.
Здравость означает истинность любого доказуемого утверждения.
Пусть предикат $P(x)$ выражает множество всех логических следствий $A$.
Тогда здравость $A$ выражается утверждениями "$P(\#Y)\Rightarrow Y$", где $Y$-любое арифметическое утверждение.