Предел в одну строчку

[belo4ka]

Верно ли это?

$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {\cos \left( {x - 1} \right)} \right)^{\frac{1}{{x - 1}}}} =\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 -\frac{(x-1)^2}{2}} \right)^{\frac{2}{(x-1)^2}\frac{(x-1)^2}{2(x - 1)}} =e^0=1 \hfill \\ \end{gathered}$

[Хорхе]

Как-то так, только переходы надо обосновать. И сделайте замену $z=x-1$, чтобы столько скобочек не писать.

[belo4ka]

Хорхе в сообщении #577793 писал(а):

Как-то так, только переходы надо обосновать. И сделайте замену $z=x-1$, чтобы столько скобочек не писать.

Спасибо А что обосновать? Правило эквивалентностей? А как можно обосновать то, что его здесь можно использовать?

[belo4ka]

Просто вроде как правило эквивалентностей не всегда можно использовать...

[Хорхе]

Не всегда, конечно. В данном случае $\cos z\sim e^{z}$, только вот предел получится другой. Можно, например, писать логарифмы (и тогда там можно использовать эквивалентности, только аккуратно).

[belo4ka]

Хорхе в сообщении #577870 писал(а):

Не всегда, конечно. В данном случае $\cos z\sim e^{z}$, только вот предел получится другой. Можно, например, писать логарифмы (и тогда там можно использовать эквивалентности, только аккуратно).

А как узнать -- можно или нет? Если говорить про сложную функцию $u(x)^{v(x)}$. Какие ограничения накладываются на $u$ и $v$?

[Хорхе]

Пишите логарифмы, не ошибетесь.

[belo4ka]

Хорхе в сообщении #577872 писал(а):

Пишите логарифмы, не ошибетесь.

Что значит -- пишите логарифмы? Вы это имеете ввиду? $u^v=e^{v\ln u}$?

[Хорхе]

Да, я это имею (обратите внимание на пробел) в виду.