Вопросы про первую основную форму

[Бабай]

Привет! У меня пара вопросов.

Первый вопрос может и тупой, но всё же:
Возможно ли сразу, т.е. очень быстро, глядя на стандартную параметризацию конуса $f: (0,\infty) \times [0,2\pi), f(r,\phi)=r(\cos \phi, \sin \phi, 1)$, усмотреть параметризацию, в которой первая основная форма имеет вид $(\delta_{ij})$. Не вижу что-то, как это сделать.

И ещё два вопроса:
Допустим, что гауссова кривизна поверхности нигде не равна нулю. Могут ли несмотря на это ВСЕ символы Кристоффеля онуляться? Может ли первая основная форма быть постоянной?

Заранее спасибо.

[svv]

Первый вопрос.
Разрежьте конус вдоль какой-нибудь образующей, разверните и положите на плоскость с декартовыми координатами. Перенеся эти координаты на конус, получите такую параметризацию.

Второй вопрос. Да, могут -- в точке. Не могут в окрестности.

-- Пн май 28, 2012 13:14:49 --

По первому вопросу. Если нужны формулки.
Здесь удобно взять такую параметризацию: $r(\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$, где $\theta$ -- константа (угол раствора конуса). То есть использовать сферические координаты. В этой форме уравнение будет и более общим (Ваше -- для угла раствора $\pi/4$).

Тогда первая форма будет иметь вид $(\delta_{ij})$ в координатах
$x=r\cos(\varphi\sin\theta)$
$y=r\sin(\varphi\sin\theta)$
Это и есть один из способов изометрически отобразить конус на плоскость, и, наверное, самый стандартный.

[Бабай]

Спасибо, понятно.
А как на счёт постоянства основной формы?

[svv]

Тогда будут тождественно равны нулю символы Кристоффеля. Отсюда следует, что и тензор кривизны тоже.

$$\Gamma_{ij;\,k}=\frac 1 2\left(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\right)$$

Меня немного настораживает Ваш вопрос, так как эту формулу Вы не можете не знать.

[Бабай]

ааа…тьфу ты...да, действительно!…ясно, спасибо!