inequality

[man111]

If $a,b,c>0$ and $abc=1$. Then Prove that $a^3+b^3+c^3+6\geq (a+b+c)^2$

[arqady]

man111 в сообщении #576038 писал(а):

If $a,b,c>0$ and $abc=1$. Then Prove that $a^3+b^3+c^3+6\geq (a+b+c)^2$

Пусть $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$ и $abc=w^3$. Тогда Ваше неравенство линейно относительно $v^2$. Поэтому остаётся его проверить на границе значений $v^2$, то бишь, когда две переменные равны. Пусть $b=c$ и $a=\frac{1}{b^2}$. Тогда получаем:
$(b-1)^2(2b^7-2b^5+2b^4+2b^3+2b^2+2b+1)\geq0$, что очевидно верно.

[TR63]

$a>1, c>b, b<1, c=kb, k>1$
$a^3+b^3+(k^3)(b^3)+6>(a+b+kb)^2$
$[(k^3)(b^3)-k^2b^2-2(a+b)kb]+[a^3+b^3+6-(a+b)^2]>0$
Первая скобка положительна, т.к. дискриминант отрицателен. Вторую перепишем в виде:
$(a^3-a^2-2ab+5)+(b^3-b^2+1)>0$
Вторая скобка положительна, в первой зделаем усиление, учитывая, что $b<1$:
$a^3-a^2-2a+5>0$, $(a-1)(a^2-2)+3>0$. При $a>1$ это очевидно.

[arqady]

TR63 в сообщении #576484 писал(а):

$[(k^3)(b^3)-k^2b^2-2(a+b)kb]+[a^3+b^3+6-(a+b)^2]>0$
Первая скобка положительна, т.к. дискриминант отрицателен.

Уверены?

[TR63]

Нет, т.к., в действительности, дискриминант больше нуля. Ошиблась. Но из первой скобки можно извлечь полезную информацию: если неравенство доказано при $k=1$, то дальнейшее увеличение k не ведёт к изменению знака неравенства.
$kb[k^2b^2-kb-2(a+b)]$

[TR63]

Если эта скобка положительна, то сказанное очевидно. Если отрицательна, то подставим вместо $kb=\frac1 {ab}$. Получим: $[k^2b^2(kb-1)-2(a+b)\frac1 {ab}]$. Если $kb>1$, то предложение остается в силе. Если $kb=c<1$, то этот случай путём замены переменных можно свести к предыдущему случаю следующим образом: $a^3+b^3+c^3+1+5>(a+b+c+\alpha)^2$
$c^3+1=c_1>1$, $ c+\alpha=c_1$ Это будет усиленное неравенство.

[arqady]

Лихо Вы с неравенствами...

[Tanechka]

arqady, а можете рассказать смысл того, как работает ваш этот метод?

[arqady]

С удовольствием, Tanechka. Но я, вроде бы, всё написал... Готов ответить на любой вопрос.

[Tanechka]

arqady, вот например какое вы получили выражение после замены?..
---
Кстати, читая некоторые сообщения, в неравенствах вы используйте какой-то метод, который называется uvw. Поиск в Яндексе дают ссылки только на этот форум и e-science, но более-менее понятного объяснения этого метода там нет, а вот английского к сожалению я не знаю (не в английском классе я училась, извините ). Не могли бы вы объяснить его сущность .

[arqady]

Tanechka в сообщении #577400 писал(а):

arqady, вот например какое вы получили выражение после замены?..

Взял и подставил! Вместо $a$ подставил $\frac{1}{b^2}$, вместо $c$ подставил $b$. После раскрытия скобок, приведения подобных членов и разложения на множители получается то, что я написал. Проверьте! Может, я ошибся.

Tanechka в сообщении #577400 писал(а):

Кстати, читая некоторые сообщения, в неравенствах вы используйте какой-то метод, который называется uvw... Не могли бы вы объяснить его сущность

Прежде всего, есть моя статья на Русском в журнале "Математическое Образование" за прошлый год (ссылки у меня нет ). Есть статья на Иврите, если хотите, могу дать ссылку. Кроме всего этого, повторяю: готов ответить на Ваши вопросы (ведь исходное неравенство доказано именно этим методом ).

[Tanechka]

arqady в сообщении #577410 писал(а):

Взял и подставил! Вместо подставил , вместо подставил . После раскрытия скобок, приведения подобных членов и разложения на множители получается то, что я написал. Проверьте! Может, я ошибся.

Нет, не тогда! Вот вы заменили на u, v, w, а что после этой замены получилось-то?.. Вы же не могли безосновательно сказать, что она линейна относительно v в квадрате.

arqady в сообщении #577410 писал(а):

Прежде всего, есть моя статья на Русском в журнале "Математическое Образование" за прошлый год (ссылки у меня нет ). Есть статья на Иврите, если хотите, могу дать ссылку. Кроме всего этого, повторяю: готов ответить на Ваши вопросы (ведь исходное неравенство доказано именно этим методом ).

Ссылки я не нашла... а иврит я не знаю (я на немецком шпрэхаю )

[arqady]

Линейное неравенство получается так:
Пусть $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$ и $abc=w^3$.
Тогда $a^3+b^3+c^3=27u^3-27uv^2+3w^3$, $(a+b+c)^2=9u^2$.
Поэтому $a^3+b^3+c^3+6\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow27u^3-27uv^2+3w^3+6w^3\geq9u^2w\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow3u^3-3uv^2+w^3-u^2w\geq0$, что является линейным неравенством относительно $v^2$.

[TR63]

$a^3+b^3+(c_1)^3+5<(a+b+c_1)^2$
$c^3+1=(c_1)^3$
$a>1, b<1, abc_1=1$
При решении исходного неравенства для случая, когда $k=1$ получается неравенство, имеющее кратный корень $b=1$
$2b^9-4b^8+6b^6-4b^5-b^2+1>0$
Отсюда видно, что граница исходного неравенства не может быть меньше числа шесть(в данном случае). Если граница в исходном неравенстве существует, то она для любых (k) одна. Поскольку при (k=1) она равна (6), то и при остальных (k) она должна равняться (6).

[arqady]

TR63 в сообщении #577982 писал(а):

$a^3+b^3+(c_1)^3+5<(a+b+c_1)^2$
$c^3+1=(c_1)^3$
$a>1, b<1, abc_1=1$
При решении исходного неравенства для случая, когда $k=1$ получается неравенство, имеющее кратный корень $b=1$
$2b^9-4b^8+6b^6-4b^5-b^2+1>0$
Отсюда видно, что граница исходного неравенства не может быть меньше числа шесть(в данном случае). Если граница в исходном неравенстве существует, то она для любых (k) одна. Поскольку при (k=1) она равна (6), то и при остальных (k) она должна равняться (6).

Может, кто-нибудь поможет мне? Я ничего не понимаю, что здесь написано и зачем.