Ифов, конечно, предсказуемо много:

-- по количеству вершин гиперкуба.
Ничего, щас введём удобные обозначения, чуть поднимем уровень абстракции, и вместо видимой сложности засияет простой порядок.
Ну и, сами понимаете:
Мужик что бык: втемяшится
В башку какая блажь —
Колом ее оттудова
Не выбьешь!(Некрасов. Кому на Руси жить хорошо)
Вершины гиперкуба будем обозначать буквой

с набором индексов

, где индекс

равен

-й координате вершины. Индексы могут иметь значения

или

.
Набор значений

будем ещё обозначать

, это такой составной индекс. Так что у нас

вершин

.
Определим на множестве вершин четыре несложные функции:

. Ясно, что вершина, совпадающая с началом координат, имеет

, а остальные

и

в шахматном порядке.

. Это значение формы

на вершине

.


-- объем

-мерного тетраэдра, который некоторым образом строится по вершине

и плоскости

.
Тогда обещанный объем

. Эта формула справедлива для любого

, в том числе для случая, когда плоскость не проходит через гиперкуб.
В следующем сообщении покажу на простом примере, как формула работает.