Плотность вероятности от 3-х случайных величин

[alexey007]

Вопрос в следующем, если $x,y$ - случайные величины с плотностями вероятности $p(x),p(y)$, то плотность вероятности их линейной комбинации равна свертки $p(z)=\int{p(y)p(z-y)dy}$. А как найти плотность вероятности для суммы трех и более случайных величин?

[ewert]

alexey007 в сообщении #577029 писал(а):

если $x,y$ - случайные величины с плотностями вероятности $p(x),p(y)$, то плотность вероятности их линейной комбинации равна свертки $p(z)=\int{p(y)p(z-y)dy}$

Тут сразу две ошибки (не считая орфографической).

alexey007 в сообщении #577029 писал(а):

А как найти плотность вероятности для суммы трех и более случайных величин?

Последовательным сворачиванием, естественно.

[alexey007]

Спасибо за ответ)) Кинул напечатанное в ворд, не нашел ошибки в орфографии(((( Две другие ошибки ищу пока)

[ewert]

alexey007 в сообщении #577049 писал(а):

Кинул напечатанное в ворд, не нашел ошибки в орфографии

Так ведь ворд же проверяет правописание каждого слова по отдельности, но не в силах проверить падежи.

[alexey007]

Хорошо, с суммой многих случайных величин, спасибо, разобрался. Есть еще один вопрос, решалась ли где нибудь задача такого плана: поиск функции распределения, функции от линейной комбинации $N$ случайных величин, имеющих равномерный закон распределения? Хотелось бы найти если это возможно уже готовое решение, потому что задача по всей видимости не совсем простая.
Заранее извиняюсь за корявое составление предложений

[ewert]

alexey007 в сообщении #577091 писал(а):

решалась ли где нибудь задача такого плана: поиск функции распределения, функции от линейной комбинации $N$ случайных величин, имеющих равномерный закон распределения?

Хорошо, давайте я за Вас уточню. Во-первых, безусловно, не случайных величин, а независимых случайных величин. Во-вторых, под "линейной комбинацией" Вы наверняка понимали просто сумму, только почему-то постеснялись об этом сказать. В-третьих, скорее всего, имелись в виду одинаково распределённые величины.

Да, это стандартная задача. Ответом будет некоторый достаточно явно выписываемый сплайн. Который в пределе больших $N$ переходит, естественно, в нормальное распределение; более того, это один из стандартных практических способов генерации распределений, близких к нормальным. Где найти -- не скажу. На форуме эта задача вроде бы обсуждалась; попробуйте кнопочку "поиск".

[alexey007]

большое спасибо, ewert, за ценные ответы и спасибо, что вы правильно меня поняли. На форуме поищу подобную тему. ewert, если вы знаете источник, где это можно почитать и посмотреть был бы очень блогадарен, если скажете.
В задаче в более общем случае рассматривается не просто сумма, а сумма с коэффициентами умноженными на каждую величину.

[ewert]

alexey007 в сообщении #577164 писал(а):

в более общем случае рассматривается не просто сумма, а сумма с коэффициентами умноженными на каждую величину.

Это сильно вряд ли выражается в хоть сколько-то там явном виде. Т.е. явное выражение для каждой конкретной именно линейной комбинации найти, конечно, можно, но выйдет оно сильно занудным и вряд ли интересным.

Источника я, как уже сказал, не знаю/не помню. Попробуйте поспрошать специалистов (скажем, --mS--).

[alexey007]

То, что выйдет очень занудным я согласен, а вот то, что это будет интересным я уверен, распределение от линейной комбинации равномерно распределенных величин, по моему мнению, имеет очень хорошее практическое применение.

[svv]

alexey007, Вы знаете, какую простую геометрическую интерпретацию имеет Ваша задача?

[alexey007]

svv в сообщении #577334 писал(а):

alexey007, Вы знаете, какую простую геометрическую интерпретацию имеет Ваша задача?

Не совсем

[ewert]

Функция распределения есть объём области, отсекаемой от прямоугольного параллелепипеда некоторой наклонной гиперплоскостью. И тут уж какое угодно занудство может выползти. Если, конечно, задачку не сузить.

[svv]

ewert писал(а):

Функция распределения есть объём области, отсекаемой от прямоугольного параллелепипеда некоторой наклонной гиперплоскостью.

Да, это дословно то, что я имел в виду.

Пусть даны $n$ независимых случайных величин $Y_i, \;i=1..n$. С.в. $Y_i$ равномерно распределена на интервале $[a_i, b_i]$.
Нас интересует функция распределения линейной комбинации

$$S=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i Y_i\quad(\lambda_i\neq 0)$$

Целесообразно вместо $Y_i$ ввести новые с.в. $X_i$ со стандартным (на интервале $[0, 1]$) равномерным распределением:

$$Y_i=\begin{cases}a_i+(b_i-a_i)X_i&\lambda_i>0\\b_i+(a_i-b_i)X_i&\lambda_i<0\end{cases}$$

Тогда $S=\sum\limits_{i=1}^n\mu_i X_i+\nu$, причем все $\mu_i=|\lambda_i|(b_i-a_i)>0$.
Константа $\nu$ просто сдвигает функцию распределения, и мы её для простоты отбросим. Итак,

$$S=\sum\limits_{i=1}^n\mu_i X_i\quad(\mu_i>0, \;0\leqslant X_i\leqslant 1)$$

Минимальное значение $S$ равно $0$, максимальное равно $S_m=\sum\limits_{i=1}^n\mu_i$.
Функция распределения

$$F_S(s)=\begin{cases}0, & s\leqslant 0\\V(s), & 0\leqslant s\leqslant S_m\\1, & S_m\leqslant s\end{cases}$$

Что такое $V(s)$.
Область значений вектора $(X_i)$ -- гиперкуб $[0, 1]^n \subset \mathbb R^n$. Плоскость $\sum\mu_i x_i=s$ делит $\mathbb R^n$ на две части:
$G^{-}(s)=\{(x_i): \sum\mu_i x_i\leqslant s\}$
$G^{+}(s)=\{(x_i): \sum\mu_i x_i>s\}$
$V(s)$ -- это объем пересечения $G^{-}(s)$ и гиперкуба $[0, 1]^n$.
Собственно, при таком определении $F_S(s)=V(s)$ при любых $s$.

Это была подготовительная работа, а в следующем сообщении напишу формулу для $V(s)$.

[ewert]

svv в сообщении #578321 писал(а):

а в следующем сообщении напишу формулу для $V(s)$.

Боюсь, что слишком много ифов понадобится, притом нерегулярных. Стоит ли игра свеч?

[svv]

Ифов, конечно, предсказуемо много: $2^n$ -- по количеству вершин гиперкуба.
Ничего, щас введём удобные обозначения, чуть поднимем уровень абстракции, и вместо видимой сложности засияет простой порядок.
Ну и, сами понимаете:
Мужик что бык: втемяшится
В башку какая блажь —
Колом ее оттудова
Не выбьешь!
(Некрасов. Кому на Руси жить хорошо)

Вершины гиперкуба будем обозначать буквой $A$ с набором индексов $k_1, k_2...k_n$, где индекс $k_i$ равен $i$-й координате вершины. Индексы могут иметь значения $0$ или $1$.
Набор значений $(k_i)$ будем ещё обозначать $K$, это такой составной индекс. Так что у нас $2^n$ вершин $A_K$.

Определим на множестве вершин четыре несложные функции:

$\sigma_K=(-1)^{k_1+...+k_n}$. Ясно, что вершина, совпадающая с началом координат, имеет $\sigma_K=+1$, а остальные $+1$ и $-1$ в шахматном порядке.

$s_K=\sum\limits_i\mu_i k_i$. Это значение формы $\sum\limits_i\mu_i x_i$ на вершине $A_K$.

$\pi_K(s)=\begin{cases}0,&s_K>s\\1,&s_K\leqslant s\end{cases}$

$\tau_K(s)=\dfrac{(s-s_K)^n}{n!\prod\limits_i \mu_i}$ -- объем $n$-мерного тетраэдра, который некоторым образом строится по вершине $A_K$ и плоскости $\sum\limits_i\mu_i x_i=s$.

Тогда обещанный объем $V(s)=\sum\limits_K \sigma_K \pi_K(s)\tau_K(s)$. Эта формула справедлива для любого $s$, в том числе для случая, когда плоскость не проходит через гиперкуб.

В следующем сообщении покажу на простом примере, как формула работает.