Условная сходимость ряда

[dikiy]

tdayne в сообщении #576414 писал(а):

Ну его мажорирует $\sum \frac 1 {n^2}$ А он сходится. Это все понятно.

Получили промежуток [-1,1] где ряд сходится абсолютно. Как найти область условной сходимости?

по критерую, который ты очевидно применял для нахождения радуиса сходимости, ты получил, что для |x|<1 ряд сходится абсолютно. А для |x|>1 расходится.

[ewert]

dikiy в сообщении #576425 писал(а):

А для |x|>1 расходится.

С какой, кстати, стати?... Ведь тот "критерий" -- был вовсе не критерий.

Ох, бяда с нонешней мОлодежью.

[dikiy]

ewert в сообщении #576426 писал(а):

dikiy в сообщении #576425 писал(а):

А для |x|>1 расходится.

С какой, кстати, стати?... Ведь тот "критерий" -- был вовсе не критерий.

Ох, бяда с нонешней мОлодежью.

ну он очевидно применял критерий д'Аламбера. А по нему мы имеем, что при |x| большим полученного радиуса ряд будет расходиться.

[ewert]

dikiy в сообщении #576427 писал(а):

критерий д'Аламбера.

Такого критерия в природе не существует.

Поскольку лишь в магазине, в жилконторе, в сортире, в Госдуме и т.д. под критерием понимается признак. В математике же этот термин определён вполне жёстко: это -- необходимое и достаточное условие.

Вы математике обучались; наверное, поэтому Вы применили этот термин именно математически -- как нечто необходимое и достаточное. Но, к сожалению, обучались не вполне приходя в сознание. Конкретно в этом случае эквивалентности нет.

[dikiy]

ewert в сообщении #576428 писал(а):

dikiy в сообщении #576427 писал(а):

критерий д'Аламбера.

Такого критерия в природе не существует.

Поскольку лишь в магазине, в жилконторе, в сортире, в Госдуме и т.д. под критерием понимается признак. В математике же этот термин определён вполне жёстко: это -- необходимое и достаточное условие.

Вы математике обучались; наверное, поэтому Вы применили этот термин именно математически -- как нечто необходимое и достаточное. Но, к сожалению, обучались не вполне приходя в сознание. Конкретно в этом случае эквивалентности нет.

вот только хамить не надо.

по данному _признаку_, получаем, что если $|x|>r$, то ряд расходится.

[ewert]

dikiy в сообщении #576429 писал(а):

по данному _признаку_, получаем, что если $|x|>r$, то ряд расходится.

По данному признаку мы ровно ничего не получаем -- данный признак на этот счёт ровно ничего не говорит. На этот счёт говорит совершенно другой признак.

И это вовсе не придирки. Хочешь изъясняться математически -- изволь изъясняться внятно. Как минимум так, чтоб изъяснения были осмысленны.

[dikiy]

ewert в сообщении #576433 писал(а):

dikiy в сообщении #576429 писал(а):

по данному _признаку_, получаем, что если $|x|>r$, то ряд расходится.

По данному признаку мы ровно ничего не получаем -- данный признак на этот счёт ровно ничего не говорит. На этот счёт говорит совершенно другой признак.

И это вовсе не придирки. Хочешь изъясняться математически -- изволь изъясняться внятно. Как минимум так, чтоб изъяснения были осмысленны.

почему же ни о чем не говорит?? Имеем ряд $\sum a_n x^n$, применяем к нему признак д'Аламбера:

при |x|>r имеем:

$$\lim \left|\frac {a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^n}\right| > \lim \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} r \right| > 1$$

а значит ряд расходится.

-- 25.05.2012, 23:54 --


Да и вообще, хватит тут нубов (меня то есть :) щемить, может зайдешь в мою тему про дифур, подскажешь, если идеи есть? А-то я уже несколько дней над проблемой сижу - решить не могу :(

[ewert]

dikiy в сообщении #576434 писал(а):

применяем к нему признак д'Аламбера:

при |x|>r имеем:

Признак конкретно Даламбера об этом вообще ничего не говорит -- ему это просто не интересно, это для него давно уж пройденный этап. Это всего-навсего необходимое условие сходимости.

[dikiy]

ewert в сообщении #576444 писал(а):

dikiy в сообщении #576434 писал(а):

применяем к нему признак д'Аламбера:

при |x|>r имеем:

Признак конкретно Даламбера об этом вообще ничего не говорит -- ему это просто не интересно, это для него давно уж пройденный этап. Это всего-навсего необходимое условие сходимости.

мне кажется мы вообще о разных вещах твердим. ТС тут спросил в конце обсуждения, для каких x ряд расходится. А это следует напрямую из признака д'Аламбера, как я уже показал. То есть имеем однозначно x для которых сходится, для которых расходится, ну и две точки, которые отдельно проверить надо.

[tdayne]

Вот мои новые мысли.
Если ряд сходится абсолютно, об условной не может быть речи. Исследуем сходимость в 2 интервалах
x<-1 x>1

В первом случае, по дирихле, будет сходиться условно. Во втором нет.
Т.е. ответ такой: x<-1(включительно) - условно сходится.
-1<x<1(включительно) сходится абсолютно.

[dikiy]

tdayne в сообщении #576526 писал(а):

Вот мои новые мысли.

Т.е. ответ такой: x<-1(включительно) - условно сходится.

то есть ты хочешь сказать, что допустим при x=-5 ряд сходится условно?

[tdayne]

А дирихле то и работать уже не будет... не знаю как быть тогда. Ребят, скажите кто-нибудь нормально пожалуйста, как решить и к чему прийти, мне к экзамену нужно ~150 примеров прорешать, из них примерно 20 с аналогичным заданием, а я не понимаю сути как их решать.

[dikiy]

выучи признаки сходимости степенных рядов. они обычно дают тебе сходимость "внутри" радиуса и расходимость "снаружи". А на самом радиусе уже своими силами.

Ты в общем-то правильно ответил, кроме того, что при x<-1 он расходится. И это видно даже не из критерия д'Аламбера а просто из того, что члены ряда расходятся при n->inf.

а вообще запомни: если есть x, для которых степенной ряд не является расходящимся, и есть x, для которых он не является сходящимся, то _всегда_ существует радиус сходимости r. И при |x|>r ряд расходится, при |x|<r - сходится абсолютно. Ну и |x|=r отдельно надо исследовать.

[tdayne]

Ага. Спасибо, попробую закрепить материал примером.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left{\left 2^(n-1)}{\left x^2(n-1)}$$

$(n-1)$ в степенях $x$ и $2$

Берем абсолютную величину общего члена. По признаку Даламбера получаем $2|x|^2<1$ отсюда
|x|<1/sqrt(2)

Исследуя на границах получаем, что расходится. т.е. ответ при |x|<1/sqrt(2) сходится.

[tdayne]

Верно последнее то?