Условная сходимость ряда

[tdayne]

Привет. Помогите разобраться с условной сходимостью.
Дан ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left\dfrac{\left x^n}{\leftn(1+n)n}$$

Задание, найти области условной и абсолютной сходимости.
Абсолютную нашел, сходится при |x|<1. По признаку Коши.
Непойму, как найти область условной сходимости?

[ewert]

tdayne в сообщении #576325 писал(а):

Абсолютную нашел, сходится при |x|<1. По признаку Коши.

Нет, не нашли. Помимо признака Коши, есть и другие признаки -- например, интегральный, и вот он-то тут как раз в жилу.

И вообще у Вас неправильная логика, потому и несёт неправильный мёд. Поскольку ряд степенной -- в первую очередь следует применять теорему Абеля, которая напрочь вырубает все точки, кроме двух. И вот с каждой из этих двух подозрительных точек следует разбираться уже индивидуально -- что в отношении абсолютной сходимости, что условной.

[tdayne]

Ну, чтобы найти абсолютную сходимость, нужно взять абсолютную величину общего члена. т.е. $|x|^n/n(n+1)$ А применив признак коши и, сосчитав предел, получим как раз |x|<1. Или же $-1<x<1$ Непойму, где ошибка?

Причем, в x=-1 сходится условно по дирихле. А в x=1 снова не знаю как считать.

[ewert]

tdayne в сообщении #576339 писал(а):

Непойму, где ошибка?

В перепутывании необходимых и достаточных условий. Ваши рассуждения достаточны для доказательства абсолютной сходимости в указанном интервале. Но вовсе не необходимы для абсолютной сходимости вообще.

[tdayne]

Ну так что, поможет кто-нибудь разобраться?

[Someone]

В чём разобраться-то? Напишите ряды для точек $x=1$ и $x=-1$ и исследуйте их на сходимость. Там совсем простенькая задача получается. И признак Дирихле тут совсем ни к чему.

[tdayne]

Так. Для x=1 сходится. Для x=-1 тоже сходится, но условно.

[Dan B-Yallay]

tdayne в сообщении #576387 писал(а):

Так. Для x=1 сходится. Для x=-1 тоже сходится, но условно.

Бывают же чудеса.

-- Пт май 25, 2012 14:31:54 --

Определение условной сходимости напомните пожалуйста.

[tdayne]

Все, понял ошибку, в обоих точках ряд сходится абсолютно.

[Dan B-Yallay]

В обЕих.

[dikiy]

в чем разобраться-то? Ты уже доказал, что ряд сходится для -1<x<1. Осталось доказать для крайних точек.

например для x=1 получем ряд $\sum \frac 1 {n(n+1)}$

найди для него сходящуюся мажоранту.

[ewert]

dikiy в сообщении #576410 писал(а):

найди для него сходящуюся мажоранту.

зачем?... он сам для себя мажоранта

[tdayne]

Ну его мажорирует $\sum \frac 1 {n^2}$ А он сходится. Это все понятно.

Получили промежуток [-1,1] где ряд сходится абсолютно. Как найти область условной сходимости?

[Dan B-Yallay]

Вопрос на засыпку: А она есть вообще для такого ряда ?

[ewert]

tdayne в сообщении #576414 писал(а):

Как найти область условной сходимости?

Вернитесь к теореме Абеля. Она, конечно, конкретно тут не необходима, но она идейна, и она мгновенно отсекает ненужные варианты. Поэтому знать её всё-таки нужно -- во избежание бессмысленной работы.

Ну а если лень возвращаться, и если хочется изобретать велосипеды -- то попросту поразмыслите над выполнимостью за пределами этого отрезка необходимого условия сходимости (что просто, что абсолютной).