Расстояние от точки X до сторон треугольника

[Nikolai Moskvitin]

Полгода назад у меня возникла следующая задача: пусть дан треугольник ABC, в него вписана окружность, отмечены точки касания $A_1,B_1,C_1$, в треугольник $A_1B_1C_1 $ снова вписана окружность, этот процесс продолжается до бесконечности. Пусть центр "последней" окружности- X. Требуется найти расстояния от X до сторон треугольника.
Приведу некоторые мои попытки решения, но без громоздких формул.
1)Углы треугольника $A_nB_nC_n$ можно выразить через углы ABC (теорема об угле между хордой и касательной и теорема о сумме углов в треугольнике.
2) Можно доказать наличие предела у последовательности расстояний. Например, пусть $AB<BC<AC $. Рассмотрим последовательность расстояний $I_nK$ до AC. Приведу три леммы, полезные для доказательства.
Лемма 1. Если середина AB-D, O- центр описанной окружности, то центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника DOB.
Лемма 2. Любой из отрезков $B_nA_n$ и $C_nA_n$ пересекает прямую AC на луче $B_1A$.
Лемма 3.Любой угол, образованный перпендикуляром $I_nK$ и перпендикуляром из $I_n$ на $ B_nA_n $либо на $ A_nC_n$ (зависит от чётности n)-тупой.
3) Расстояние можно найти как сумму радиуса вписанной окружности треугольника ABC и произведений $I_{n-1}I_n$ на синус угла между прямой, содержащей данный отрезок, и AC. Этот угол можно найти в соответствии с леммой 1, но у меня вопрос, как найти эту сумму. Обычный метод, когда предел определяют по рекуррентному соотношению, здесь не проходит. Может быть, это геометрическая прогрессия?

[g______d]

Nikolai Moskvitin в сообщении #576226 писал(а):

Может быть, это геометрическая прогрессия?

Да, это она. Почти. Рассмотрите две итерации. Новый треугольник будет подобен исходному, и его стороны будут параллельны исходному. Поэтому еще через 2 итерации он уменьшится во столько же раз и сместится на величину, пропорциональную размеру последнего треугольника.

[ewert]

Нет, ну никаких подобий, конечно же, не будет. Это становится ясно хотя бы из рассмотрения последовательности равнобедренных треугольников. Довольно очевидно, что при любом начальном условии треугольнички будут получаться асимптотически равносторонними. Вот их углы-то выравниваются действительно именно со скоростью геометрической прогрессии (в том смысле, что отклонение каждого из них от $\frac{\pi}3$ ведёт себя, при соотв. идентификации , в точности как $(-1)^k\frac C{2^k}$.

[g______d]

Да, я неправильную картинку нарисовал.

[Nikolai Moskvitin]

ewert в сообщении #576318 писал(а):

Нет, ну никаких подобий, конечно же, не будет. Это становится ясно хотя бы из рассмотрения последовательности равнобедренных треугольников. Довольно очевидно, что при любом начальном условии треугольнички будут получаться асимптотически равносторонними. Вот их углы-то выравниваются действительно именно со скоростью геометрической прогрессии (в том смысле, что отклонение каждого из них от $\frac{\pi}3$ ведёт себя, при соотв. идентификации , в точности как $(-1)^k\frac C{2^k}$.

Дело в том, что угол между $I_{n-1}I_n$ и AC определяется очень непросто, и я лично выявил два способа его определения. Если обозначить последовательность углов между $C_{n-1}B_n $и $B_nA_n$ как $\varphi_n$, последовательность углов между$ B_{n-1}C_n$ и $C_nA_n$ как$ \omega_n$, а последовательность углов между $I_{n-1}I_n$ и$ B_nA_n $или $C_nA_n $как $\delta_n$, то искомый угол выражается по крайней мере через два из этих углов, а то и через все три. Могу сказать, что $I_{n-1}I_n$ пересекает только меньшие и большие стороны треугольников $A_nB_nC_n$. Для доказательства надо сначала доказать для меньших сторон, затем исключить средние. Теперь опять вопрос: является ли этот угол членом геометрической прогрессии?

[ewert]

Ну я имел лишь в виду, что углы самих треугольников меняются очень просто. Пусть $\{\alpha_k\}$ -- одна из трёх последовательностей "противолежащих" углов, т.е. определяемая так: $\alpha_{k+1}$ -- угол следующего треугольника, лежащий на стороне предыдущего треугольника, противоположной его углу $\alpha_k$. Тогда $\alpha_{k+1}$ -- это вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, касательными к концам которой являются стороны угла $\alpha_{k}$. Следовательно, $$2\alpha_{k+1}+\alpha_{k}=\pi$, и это рекурренное уравнение элементарно решается.

[Nikolai Moskvitin]

Просто измерил: даже с учётом погрешности первые три угла геометрическую прогрессию не составляют. Дальше строить сложно.

[ewert]

Nikolai Moskvitin в сообщении #578995 писал(а):

даже с учётом погрешности первые три угла геометрическую прогрессию не составляют

Они не сами по себе геометрическую прогрессию составляют. А их отклонения от пи на три.

[Nikolai Moskvitin]

Буквально вчера возникла такая идея: выразить члены одной последовательности через члены другой, затем подставить полученную функцию в выражение для суммы последовательности...конечно той, которая легче находится. Как Вы думаете, пройдёт? (Напомню, что уже было выяснено, что расстояние определяется суммой произведений членов двух последовательностей).

[Stan Slapenarski]

Nikolai Moskvitin

А Вы не пробовали записывать барицентрические координаты вершин треугольника $A_nB_nC_n$ относительно треугольника $ABC$? Например, вроде, вершина $A_1$ имеет координаты $\large(\frac{b+c-a}{2c},\frac{a+c-b}{2c}, 0\large)$. Далее, нужно знать стороны треугольника $A_nB_nC_n$, которые, кажется, выражаются по рекуррентной формуле, например, $a_{n+1}=(b_n+c_n-a_n)\sin (\alpha_n/2)$. Явное соотношение для углов треугольника $A_nB_nC_n$ есть здесь. Далее, нужно переводить барицентрические координаты вершин $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$ относительно треугольника $A_nB_nC_n$ в координаты относительно треугольника $ABC$. Для этого заменяете каждую из масс, расположенную в вершинах треугольника $A_nB_nC_n$ комбинацией трех соответствующих масс, расположенных в вершинах треугольника $ABC$. Как-то так.