Пример функции, которая не является преобразованием Фурье

[this2me]

Помогите, пожалуйста решить задачу:
Необходимо привести пример функции из $C_0(R)$, которая не является преобразованием Фурье ни для какой функции из $L_1(R)$. В принципе я знаю один пример:
$g(x) = v.p.\int_{-1/2}^{1/2}{e^{-itx}\over t\ln{|t|}}dt.$ Как доказывать, что функция из $C_0(R)$, в принципе, понятно. Возникает проблема со второй частью. У меня была идея, что любая функция при обратном преобразовании Фурье функции g(x) будет равна $1\over t\ln{|t|}$, но, честно говоря, не представляю как это доказать. Может быть кто-то знает другие примеры или доказательство для этого случая.

[yanvladimirovich]

Я туплю, а что такое тут $C_0(R)$ и $L_1(R)$?

[this2me]

$C_0(R)$ - пространство непрерывных функций для которых $Lim_{x\to\infty}f(x)=0$
$L_1$ - пространство измеримых, интегрируемых функций.

[sup]

this2me в сообщении #575286 писал(а):

Как доказывать, что функция из $C_0(R)$, в принципе, понятно.

А вот мне кажется, что не очень понятно. Непрерывность более или менее ясно. А убывание на бесконечности?
Мне кажется, что сначала надо выражение для функции как-то преобразовать. После этого и с убыванием все будет понятнее и с обратным преобразованием Фурье.

[g______d]

sup в сообщении #575430 писал(а):

this2me в сообщении #575286 писал(а):

Как доказывать, что функция из $C_0(R)$, в принципе, понятно.

А вот мне кажется, что не очень понятно. Непрерывность более или менее ясно. А убывание на бесконечности?

Теорема Римана-Лебега.

this2me в сообщении #575286 писал(а):

Помогите, пожалуйста решить задачу:
Необходимо привести пример функции из $C_0(R)$, которая не является преобразованием Фурье ни для какой функции из $L_1(R)$.

Посмотрите

http://mathoverflow.net/questions/3764/ ... -transform

http://yannisparissis.wordpress.com/201 ... #ex.proper

[ewert]

g______d в сообщении #576270 писал(а):

Теорема Римана-Лебега.

Нет, не она.

this2me в сообщении #575286 писал(а):

У меня была идея, что любая функция при обратном преобразовании Фурье функции g(x) будет равна $1\over t\ln{|t|}$,

Я не понял, что за "любая", но ожидания почти наверняка не верны. Скорее уж следует ожидать убывания как единица на просто логарифм. Поскольку при отсутствии логарифма в исходной функции её Фурье-образ ведёт себя на бесконечности как более-менее константа.

[g______d]

ewert в сообщении #576324 писал(а):

g______d в сообщении #576270 писал(а):

Теорема Римана-Лебега.

Нет, не она.

Сорри, видимо, я отвечал не на тот вопрос.