ВТФ

[Руст]

Тамошнее доказательство не годится даже для целых функций. Например, при n=2 sin(z) и cos(z) удовлетворяют уравнению. Хотя доказательство для целых можно подправить.

[RIP]

Тамошнее док-во приводится для $n\geqslant3$ и только для целых функций. Хотя можно гораздо короче, если воспользоваться такой формулировкой малой теоремы Пикара:
Если мероморфная в $\mathbb{C}$ функция не принимает некоторых 3 значений из $\overline{\mathbb{C}}$, то она постоянна.

А в чём оно не годится?

[Руст]

Для доказательства отсутствия целых решений приходится использовать теорему Пикара о мероморфных функциях в C не принимающих 3-х значений из сферы (замыкания С).
Когда сами функции мероморфны, то полюса могут нейтрализовать нули.
Учитывая, что в этом уравнений в комплексных переменных можем знак + поменять на минус для удобства и из разложения:

$$1=f^n-g^n=\prod_{k=0}^{n-1}(f-\epsilon ^kg), \epsilon =exp(\frac{2\pi i}{n})$$

мы не можем сказать, что ни одно из произведений не равно нулю для мероморфных функций. Однако, из f(z)=g(z) из этого равенства получаем, что z является полюсом одновременно для обеих функций (иначе конечные значения не могут нейтрализовать ноль). При этом полюс одной функции является полюсом так же и для другой функции
Тогда вводя $h(z)=\frac{g(z)}{f(z)-h(z)}$ действительно получаем мероморфную функцию с теми же полюспми. При этом эта функция не принимает n-1 конечных значений $h(z)\not =\frac{1}{\epsilon ^k-1}, k=1,...n-1.$
Получается теорема Пикара работает и в этом случае для n>3. Значит я ошибался.

[RIP]

Во-первых, я так понял, что $h=\frac g{f-g}$.
Во-вторых, я не понимаю, почему $h$ не может принимать эти значения. Очень даже может.

[Руст]

Из равенства получается, что любой полюс f является полюсом и для g (иначе не выполняется равенство в некоторой окрестности). Т.е. множество полюсов одно и то же. За пределами этого множества f(z) не равно g(z) (иначе не выполняется равенство). Поэтому h(z) имеет те же полюса, что и f(z),g(z). Если бы h(z) принимал одно из этих значений, то соответствующий сомножитель равен нулю, поэтому один из сомножителей должен иметь полюс в этой точке. Как уже выяснили полюс h(z) только в полюсах этих функций, где полюса для всех комбинаций сомножителей (f-e^kg) за исключением одного, имеющего кратный ноль и никак в точке, где h(z) принимает соответствующее значение.

[juna]

Для полиномов не равных константе невозможность $g(z)^n+f(z)^n=h(z)^n$ при $n>2$ - это следствие теоремы Мейсона -Стотерса.

[RIP]

Возьмём $g(z)=\frac1z$, $f(z)=\frac{(1+z^n)^{1/n}}z$ такое, что $f(z)=\frac{\zeta}z+\ldots$. Тогда $h(0)=\frac1{\zeta-1}$

[Руст]

Но это ничего не опровергает, функции не мероморфные.

[RIP]

Я просто показал, что ниоткуда не следует, что $h$ не может принимать эти значения.

[Руст]

Ещё раз.
Если f(z)=g(z), то оба значения бесконечные. Соответственно можно считать f(z)-g(z) имеет кратный 0 в точке z, а остальные множители - полюса в этой точке. Если h(z) принимает одно из указанных значений, то f(z)-e^kg(z)=0. Соответственно f(z) и g(z) имеют полюса в этой точке. Я кажется раньше принимал, что эти полюса обязаны совпасть с нулём f(z)-g(z). Но это не так. Тогда пока нет противоречий.