Диф. уравнение с пуассоновской правой частью

[Theoristos]

Народ, подскажите.

Пусть у нас есть простейшее линейное диф. уравнение с правой частью
$\frac{d x(t)}{dt}+a x(t)= F(t)$, где
$F(t)$ - случайная функция-последовательность дельта-импульсов, распределённых по пуассоновском закону
$F(t)=\sum \delta (t-t_i)$.

1. Как наиболее просто найти распределение вероятности $p(x)$ случайной функции $x(t)$ для стационарного решения?
2. Как найти распределение вероятности $p(x,t)$ в общем случае, если параметры пуассоновской правой части меняются во времени?

[Theoristos]

Немного раскопал. Задачка вроде учебная (хотя для такого F(t) ни одного примера не нашел), но наткнулся на один непонятный факт.

Вроде бы процесс можно считать марковским. При этом условная плотность вероятности перехода от начального состояния к конечному $f(x,t;y,\tau)$ определяется уравнениями Колмогорова. Второе из них имеет вид

$\frac{\partial f}{\partial \tau}+\frac{\partial }{\partial y}[a(y, \tau) f]+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 }{\partial y^2}[b(y, \tau) f] = 0$

При этом, если область процесса ограничена на границах должно выполняться граничное условие

a(y, \tau) f+\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}[b(y, \tau) f]_{y=\alpha} = 0$

Стационарное решение в пределе больших $\tau$, понятно, получает вид

a(y, \tau) f+\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}[b(y, \tau) f] = C$.

при этом граничное условие превращается в тождество и требует $C=0$.

Функции $a(x, t)$, $b(x, t)$ определяются из предельных значений малых приращения решения исходного уравнения:

$a(x, t)= \lim_{\tau\to t}\frac{1}{\tau-t} \overline{(Y-X)}|X=x$
$b(x, t)= \lim_{\tau\to t}\frac{1}{\tau-t} \overline{(Y-X)^2}|X=x$

Хорошо, теперь в чем проблема. Исходя из исходного уравнения получается что $a(x, t)=\lambda - a x$, $b(x, t)=\lambda$, $\lambda$ средняя частота импульсов в функции $F(t)$.

Решение стационарного уравнения получить несложно, и... это смещённое нормальное распределение
$f{y} = \sqrt{\frac{a}{\lambda \pi}}e^{-\frac{(a y - \lambda)^2}{a \lambda}}$.
Что непонятно - решения исходного уравнения должны быть существенно положительны. А тут у нас нормальное распределение от $-\infty$ до $+\infty$. Как такое могло получиться и как это понимать, особенно при малых $\lambda$?
Подскажите, в чём именно ошибка?

[Vince Diesel]

Имеется в виду, что приращения в последовательности $t_i$ распределены по Пуассону или что?
Решение, на которые не влияют дельты более поздних моментов времени $t_i$, имеет вид

$$ \frac1a\sum_i \theta(t-t_i)e^{-a(t-t_i)}, $$

где $\theta$ - функция Хевисайда.

[Хорхе]

Откуда $1/a$?

Кстати, написанная формула дает и стационарное решение -- надо продлить пуассоновскую меру на отрицательную полуось и взять бесконечную сумму. Что это будет за распределение?

[Хорхе]

Что-то похожее на гамма-распределение получается. Почему, пока не пойму.

[Theoristos]

Vince Diesel в сообщении #574397 писал(а):

Имеется в виду, что приращения в последовательности $t_i$ распределены по Пуассону или что?
Решение, на которые не влияют дельты более поздних моментов времени $t_i$, имеет вид

$$ \frac1a\sum_i \theta(t-t_i)e^{-a(t-t_i)}, $$

где $\theta$ - функция Хевисайда.

Не приращения, а отдельные дельта-импульсы, распределённые по Пуассону.
Насчёт решения не совсем понял, это случайный процесс и я искал стационарное распределение вероятностей значений функции.

[Vince Diesel]

Хорхе в сообщении #574429 писал(а):

Откуда $1/a$?

Да, множитель лишний.

Theoristos в сообщении #574476 писал(а):

Насчёт решения не совсем понял, это случайный процесс и я искал стационарное распределение вероятностей значений функции.

Тогда я постановки не понял.

[Хорхе]

Нет, нормальным распределением и не пахнет. Ну и с гамма это я губу раскатал. При $a=1$ характеристическая функция равна

$$\varphi_1(t) = \exp\left\{\int_0^1 \frac{e^{itx}-1}x dx\right\}. $$

Дейстительно, при $a=1$ стационарное распределение

$$ \xi_1 =\sum_{k=n}^\infty e^{-\tau_n} \overset{d}= e^{-\tau_1} (1+\xi) = U(1+\xi), $$

где $\tau_n$ -- скачки пуассоновского процесса, $U$ -- равномерно распределенная на $[0,1]$ величина. Отсюда

$$\varphi_1(t) = \int_0^1 e^{itx}\varphi_1(tx)dx = \frac1t\int_0^t e^z \varphi_1(z) dz, $$

откуда указанную формулу получаем дифференцированием.

При других $a$, ответ, видимо, такой:

$$\varphi_a(t) = \exp\left\{\int_0^1 \frac{e^{itx}-1}{ax} dx\right\}. $$

Почему оно должно быть верно: дело в том, что если сложить $k$ независимых стационарных $a$-распределений, то получится $a/k$-распределение. Поскольку стационарное распределение, по идее, зависит непрерывно от $a$, то получаем такую формулу.

[Theoristos]

Хорхе в сообщении #574429 писал(а):

Откуда $1/a$?

Там в числителе $a^2$

Vince Diesel в сообщении #574397 писал(а):

Решение, на которые не влияют дельты более поздних моментов времени $t_i$, имеет вид

$$ \frac1a\sum_i \theta(t-t_i)e^{-a(t-t_i)}, $$

где $\theta$ - функция Хевисайда.

Да, это "точное" решение, вполне элементарное. Но так как t_i - случайные моменты времени, то у нас получилась довольно неудобная случайная функция. По идее из неё тоже можно получить стационарное распределение, но это довольно непонятная для меня комбинаторная задача на получение распределения бесконечной суммы случайных величин. Может кто даст решение и в этом ключе, полезно будет сравнить.

-- Вт май 22, 2012 17:41:56 --

Vince Diesel в сообщении #574482 писал(а):

Тогда я постановки не понял.

Можно описать как реакция системы на "дробовой шум" - последовательность коротких импульсов распределённую по пуассоновскому закону.
Зачастую пуассоновским процессом называют процесс с дискретными приращениями, тогда наш F(t) - производная от него.
Исходная, наиболее простая задача - найти мгновенное распределение вероятностей случайной функции x(t) в пределе больших t, когда она становится стационарной и от t уже ничего не зависит.

Задача вроде простая, но в такой формулировке встретилась только с иным F(t) - белым гауссовским шумом. Там проблема с отрицательными значениями мало ощутима. А с дробовым шумом пишут что решается так же, но примеров я совершенно не нашел.

-- Вт май 22, 2012 17:47:53 --

Theoristos в сообщении #574731 писал(а):

Хорхе в сообщении #574429 писал(а):

Откуда $1/a$?

Там в числителе $a^2$

Vince Diesel в сообщении #574397 писал(а):

Решение, на которые не влияют дельты более поздних моментов времени $t_i$, имеет вид

$$ \frac1a\sum_i \theta(t-t_i)e^{-a(t-t_i)}, $$

где $\theta$ - функция Хевисайда.

Да, это "точное" решение, вполне элементарное. Но так как t_i - случайные моменты времени, то у нас получилась довольно неудобная случайная функция. По идее из неё тоже можно получить стационарное распределение, но это довольно непонятная для меня комбинаторная задача на получение распределения бесконечной суммы случайных величин. Может кто даст решение и в этом ключе, полезно будет сравнить.

-- Вт май 22, 2012 17:41:56 --

Vince Diesel в сообщении #574482 писал(а):

Тогда я постановки не понял.

Можно описать как реакция системы на "дробовой шум" - последовательность коротких импульсов распределённую по пуассоновскому закону.
Зачастую пуассоновским процессом называют процесс с дискретными приращениями, тогда наш F(t) - производная от него (при процессе с приращениями в правой части x(t), очевидно, стационарной быть не может).
Исходная, наиболее простая задача - найти мгновенное распределение вероятностей случайной функции x(t) в пределе больших t, когда она становится стационарной и от t уже ничего не зависит.

Задача вроде простая, но в такой формулировке встретилась только с иным F(t) - белым гауссовским шумом. Там проблема с отрицательными значениями мало ощутима. А с дробовым шумом пишут что решается так же, но примеров я совершенно не нашел.

[Theoristos]

Хорхе в сообщении #574490 писал(а):

Нет, нормальным распределением и не пахнет. Ну и с гамма это я губу раскатал. При $a=1$ характеристическая функция равна

$$\varphi_1(t) = \exp\left\{\int_0^1 \frac{e^{itx}-1}x dx\right\}. $$

Возможно и оно, проверил численно, вроде ниже нуля вероятность нулевая. Хотя интегралец получился ещё тот, теперь отдельная проблема как получить из этого распределение вероятности.
Правда тут нет параметра пуассоновского процесса - средней частоты импульсов $\lambda$?
Необычно что при $t= 0$ плотность вероятности имеет ненулевое значение, если расчёт верен.

От $a$ можно избавиться переопределением временной шкалы.

[Хорхе]

Это для стандартного Пуассона ($\lambda=1$). Для нестандартного умножьте интеграл под экспонентой на $\lambda$.

-- Вт май 22, 2012 21:11:14 --

Theoristos в сообщении #574782 писал(а):

Возможно и оно, проверил численно, вроде ниже нуля вероятность нулевая. Хотя интегралец получился ещё тот, теперь отдельная проблема как получить из этого распределение вероятности.

По крайней мере, легко выписываются кумулянты

[Theoristos]

Хорхе: ясно, спасибо.

Характеристическую Математика написала в виде

$\varphi(\omega) =e^{-\gamma} \frac{1}{\omega} e^{( Ci(\omega) + i Si(\omega) )}$
Осталось найти обратное преобразование :>

И все-таки, что же не верно в исходном выводе через уравнение Колмогорова?

[Theoristos]

А кумулянты кстати забавные.
$\frac{\lambda}{a}$, $\frac{1}{2}\frac{\lambda}{a}$, $\frac{1}{3}\frac{\lambda}{a}$, $\frac{1}{4}\frac{\lambda}{a}$, ...

Это никакой "знаменитой" функции не соответствует?

[Хорхе]

Theoristos в сообщении #574796 писал(а):

И все-таки, что же не верно в исходном выводе через уравнение Колмогорова?

Я вообще не могу, честно говоря, ни слова понять в том выводе. Откуда что взято, совершенно неясно.

[Theoristos]

Постараюсь вечером расписать опущенные промежуточные выкладки, хотя они довольно примитивны.
Само уравнение Колмогорова и переход к стационарному уравнению расписывать?