Положительно-определённые матрицы

[Fred]

реализуя МКЭ для 3-мерного тела столкнулся с проблемой, что матрица жёсткости не является положительно - определённой и следовательно не возможно сделать разложение Холецкого. Меня это повергает в шок ведь даже когда я делаю всего 1 конечный элемент и всё просто элементарно и даже тогда!!!! когда $B^TDB$просто перемножаю для 1 тетраэдра и фигушки...не положительно определённая...Это ужасный обман про то что в методе КЭ получаются положительно определённые матрицы...Просто я не знаю даже...после умопомрачительной феерии (для меня) когда получилось сделать алгоритм разложения Холецкого для матриц большого порядка(10E4) и он верно работает на другой задаче,я думал, что дело сделано - ведь алгоритм составления глобальной матрицы жёсткости у меня уже был...и тут такое.. программа выдаёт sqrt Domain error - смотрю пошагово - минус под корнем при разложении...Какого дьявола этот минус!!!Как же это не справедливо!!!

[Fred]

Одна поправочка, при более внимательном просмотре оказывается что при разложении холецкого на главной диагонали получается ноль!!!т.е. $\sqrt{10^{-15}}$ Что это может значить!!!???Очень интересно!!

[Евгений Машеров]

0. Матрица жёсткости является положительно определённой по построению. Что наводит на мысль, что просто выписана она ошибочно. Если принять, что Вы проверили и прямых ошибок нет, то можно попытаться пойти глубже.
1. Более внимательное рассмотрение доказательства положительной определённости матрицы показывает, что оно основано на предположении, что не может быть деформации без противодействующей ей силы. То есть если у Вас элемент нечто вроде шарнира, то матрица может быть не положительно, а всего лишь неотрицательно определённой. Скорее всего тут надо изменить разбиение на элементы, исключая эту возможность.
2. Если же отчего-то надо работать с неотрицательно определённой матрицей, то в силу ошибок округления значение на диагонали, теоретически равное нулю, может отличаться на малую величину, зависящую от машинной точности, причём если она отклоняется в минус - у Вас будет выбрасываться исключение по извлечению корня квадратного из отрицательных чисел. Либо проверять близость к "машинному нулю", и считать корень из него нулём (даже если он отрицателен), либо дополнять диагональ малым положительным числом.

[Fred]

Да действительно, вы правы. Я искал ошибку в тексте программы, а на самом деле я некорректно задавал граничные условия. Сейчас задал правильно и всё решилось