Исследование функции на монотонность и экстремумы

[Fanday]

Снова здравствуйте. Решил начать новую тему, дабы не засорять старую.

Как я понимаю, "исследование функции на монотонность и экстремумы" значит узнать, откуда докуда функция повышается-понижается и сказать, где её максимум и минимум.

Но вот, таки, проблема. Функция у меня не такая, какие мы прежде решали в школе.

Я не знаю, как сделать большую фигурную скобку, но в любом случае всё понятно.
$y=\left \{x^3-3x$, если $x<0$
$y=\left \{\sin x$, если $0\le x \le \pi$

Я просто не понимаю, что мне исследовать.

Исследую первое:
$y=x^3-3x$
Точка максимума: $-1$
Точка минимума: $1$
Возрастает: от минус бесконечности до минус одного и от одного до бесконечности $(?;-1)$, $(1;?)$
Убывает: (-1;1)

Исследовать второе я не могу. Не умею. там же тригонометрия.
Ну нашел я производную:
$(\sin x)' = \cos x$
$\cos x = 0$
$x=\frac{\pi}{2}+\pi k$
Что дальше не знаю.

И для чего ограничения, не пойму.

Надеюсь на помощь.

[Dragon27]

Fanday в сообщении #574749 писал(а):

И для чего ограничения, не пойму.

Первое ограничение показывает, до какого места функция определяется первой формулой, второе - второй.
Первая формула берется при $x$ меньшем нуля, значит минимум при $x=1$ отпадает. Вы ведь понимаете, как это выглядит? Берётся кусок первой функции до нуля, кусок второй функции от нуля (включительно) до пи, и соединяются. Что вы можете теперь сказать про ваше $x = \pi/2 + \pi k$? Что от этого останется?

[Fanday]

Dragon27
Спасибо за ответ.

Цитата:

Вы ведь понимаете, как это выглядит? Берётся кусок первой функции до нуля, кусок второй функции от нуля (включительно) до пи, и соединяются.

Извините, не уловил момент.
Я понял, что в первой функции значение 1 не удовлетворяет и отпадает. На как выглядит ваше "соединение" я не понял.

-- 22.05.2012, 19:42 --

Цитата:

Берётся кусок первой функции до нуля, кусок второй функции от нуля (включительно) до пи, и соединяются.

Я не понял, мы соединяем ограничения? ->

Цитата:

$x<0$

$0\le x \le \pi$

-- 22.05.2012, 19:44 --

У них ведь нет общего.

При условии
$0\le x \le \pi$
Я могу сказать, что принадлежать будет только $\frac{\pi}{2}$

[Хорхе]

(Оффтоп)

Fanday в сообщении #574749 писал(а):

Снова Я не знаю, как сделать большую фигурную скобку, но в любом случае всё понятно.

$$ \begin{cases} \text{направо пойдешь}& \text{коня потеряешь}\\ \text{налево пойдешь}& \text{смерть найдешь}\\ \text{прямо пойдешь}& \text{жив будешь, да себя позабудешь} \end{cases} $$

$$
\begin{cases}
\text{направо пойдешь}& \text{коня потеряешь}\\
\text{налево пойдешь}& \text{смерть найдешь}\\
\text{прямо пойдешь}& \text{жив будешь, да себя позабудешь}
\end{cases}
$$

[Dragon27]

Fanday в сообщении #574765 писал(а):

Я не понял, мы соединяем ограничения? ->

Мы соединяем по ограничениям (с помощью них). Для всех значений аргумента меньше нуля одна формула. Для всех значений больше нуля, но меньше $\pi$ - другая. Для остальных - ничего нету. В результате (наглядно) получается гибридный график: слева от нуля левая ветвь кубической параболы, справа от нуля (и до $\pi$) один горб синусоиды.

[Fanday]

Цитата:

Мы соединяем по ограничениям (с помощью них). Для всех значений аргумента меньше нуля одна формула. Для всех значений больше нуля, но меньше - другая. Для остальных - ничего нету. В результате (наглядно) получается гибридный график: слева от нуля левая ветвь кубической параболы, справа от нуля (и до ) один горб синусоиды.

Я не знаю, то ли вы объясняете очень сложно, то ли я тупой.

Вы мне скажите, пожалуйста, ответ каким будет выглядеть и как к нему придти. Мне ведь нужно исследовать не каждую из двух функций, а систему.

Вы уж извините, но не понимаю я вас.

[farewe11]

Прощу всего вам будет построить график этой вашей системы, сразу будет видно,

Fanday в сообщении #574820 писал(а):

ответ каким будет выглядеть и как к нему придти.

Функция определена на отрезке $(-\infty;\pi]$. Нарисовать будет нетрудно. А потом исследуйте. Сначала на убывание-возрастание, сверяясь с графиком.

Fanday в сообщении #574749 писал(а):

Исследовать второе я не могу. Не умею. там же тригонометрия.
Ну нашел я производную..

Ну нашел производную, ну посмотрел, при каких $x$ производная больше нуля, и, соответственно, наша функция возрастает, ну.. стоп, а что же ещё-то надо?

[Dragon27]

Fanday в сообщении #574820 писал(а):

Я не знаю, то ли вы объясняете очень сложно, то ли я тупой.

Рисуете график для $x^3 - 3x$ слева от ординаты. На этом же графике рисуете $\sin(x)$ справа от ординаты, но не много, всего один горбик (полуволну), который выше абсциссы. Смотрите, и думаете.
Всё это проделать в уме :)

-- Вт май 22, 2012 23:40:10 --

Fanday, вы надеюсь не из тех, которые отвечают по учебнической указке, не понимая сути, словно французы из известной статьи: "Сколько будет 2 плюс 3?", "2 плюс 3 равно 3 плюс 2, потому что сложение коммутативно!"