Вычисление интеграла через полярные координаты

[Atmaks]

Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл: $\iint\limits_D \frac{x dx dy}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}$,
где $D = \left\{ (x,y) : x^2 + y^2 \le ax \right\}$
Уже и перепроверил, а с ответом всё равно не сходится. Проверьте, пожалуйста. Находим область (окружность радиуса $\frac{a}{2}$), представляем границы в полярных координатах, записываем получившийся интеграл:

$$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \int\limits_0^{a\cos\varphi} \frac{r^2\cos\varphi}{\sqrt{a^2-r^2\cos^2\varphi - r^2\sin^2\varphi}} dr \right) d\varphi$$

Перемещаем и соединяем:

$$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\varphi \left( \int\limits_0^{a\cos\varphi} \frac{r^2}{\sqrt{a^2-r^2}} dr \right) d\varphi$$

Находим неопределённый интегральчик:

$$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\varphi \left( \left. \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{r}{a} - \frac{r}{2}\sqrt{a^2-r^2} \right|_0^{a\cos\varphi} \right) d\varphi$$

В нуле выражение обращается в нуль, поэтому подставляем верхний предел:

$$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\varphi \left( \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{a\cos\varphi}{a} - \frac{a\cos\varphi}{2}\sqrt{a^2-a^2\cos^2\varphi} \right) d\varphi$$

Оное приводится к виду

$$\frac{a^2}{2} \left( \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\varphi \left( \frac{\pi}{2} - \varphi \right) d\varphi - \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\varphi |\sin\varphi| d\varphi \right)$$

Первый интеграл в скобках суть $\pi$, второй - $\frac{2}{3}$. Итого получаем $\frac{a^2}{2} \left( \pi - \frac{2}{3} \right) $, в то время как верный ответ - $\frac{\pi}{2}a^2$ Интегралы в скобках посчитаны правильно, подтверждает даже Вольфрам. В чём моя ошибка?

[Алексей К.]

Atmaks в сообщении #574674 писал(а):

Находим область (окружность радиуса $\fraca2$,

Вы вместо \frac{a}{2} написали \fraca2. Этот номер проходит иногда (если бы после \frac была цифирька), но здесь не прошло.

А я уж было начал писать про неверно найденный радиус...

-- 22 май 2012, 17:43:28 --

Кстати, ещё не поздно исправить, если Вы недалеко ушли.

[Atmaks]

Спасибо, исправил.

[Алексей К.]

Правильно ли я понял, что Вы заменили $\arcsin\cos\varphi$ на $\frac{\pi}2-\varphi$?

-- 22 май 2012, 18:02:00 --

Я чисто прикинул случаи $\arcsin\left[\cos\left(\pm\frac\pi2\right)\right]=\arcsin 0=?=\frac{\pi}2\mp\frac{\pi}2$

-- 22 май 2012, 18:03:01 --

Наверное, интегрировать надо было от нуля до пи-пополам, результат удвоить, меньше путаницы было бы. И с арксинусом косинуса всё ясно.

[Atmaks]

Да, вы правы, кривая замена. Получается, она валидна, если $\frac{\pi}{2} - \varphi$ лежит в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, т.е. $\varphi$ принадлежит отрезку от нуля до $\pi$.
И правда, косинус-то чётный. Если будем интегрировать от нуля до $\frac{\pi}{2}$, то замена будет валидной. Но в этом случае всё ещё веселее: левый интеграл в скобках будет не $\pi$, а просто 2, соответственно получаем $\frac{2a^2}{3}$. $\pi$ вообще не при делах!

[gris]

А то, что функция в точке $(x=a, y=0)$ разрывна никак не влияет?

[svv]

Atmaks, Ваш ответ $\frac{2a^2}{3}$ правильный. А ответ из книги -- неправильный.
Возьмём $a=1$. Двойной интеграл в полярных координатах можно записать и так:

$$\int\limits_0^1 \frac{r^2}{\sqrt{1-r^2}} \left( \int\limits_{-\arccos r}^{+\arccos r}\cos\varphi d\varphi \right)dr$$

Внутренний интеграл равен

$$ \int\limits_{-\arccos r}^{+\arccos r} \cos\varphi\; d\varphi =\left.\sin\varphi\right|_{-\arccos r}^{+\arccos r}=2\sin(\arccos r)=2\sqrt{1-r^2}$$

А всё вместе

$$\int\limits_0^1 \frac{r^2}{\sqrt{1-r^2}} \;2\sqrt{1-r^2}\; dr=2 \int\limits_0^1 r^2\;dr=\frac 2 3$$

Кроме того, я на компьютере подсчитал численно при $a=1$, результат тот же.

[Алексей К.]

А я ещё и в декартовых подсчитал, получил тот же результат, написал, что ответ из книги неправильный, а тут увидел gris'ово сообщение, испугался страшно, и отмену нажал.

[Atmaks]

Всем спасибо за внимание. Насчёт точки разрыва - надо будет преподавателя помучить.

[svv]

Да не надо даже. Особенность интегрируемая, ничего страшного.