ВТФ и линейные диофантовы уравнения

[Сорокин Виктор]

В июле я прекратил активные поиски доказательства ВТФ, однако не смог отказать себе в удовольствии время от времени поискать новые идеи для устного двух-трехстрочного доказательства. И одна такая идея нашлась. Она, в отличие от большинства предыдущих, не рассматривает цифры в числах равенства Ферма, а на основании двух простейших диофантовых уравнений и в специальной системе счисления преобразует равенство Ферма в очевидное неравенство по последним цифрам.
Если со стороны руководства сайта не последует возражений, я немедленно приступлю к изложению идеи.

[shwedka]

КАААААК я без Вас тосковала!!!!!!!!!!!!

[Woland]

Да. Сорокин Виктор -это супер.
Но без Someone интересной дискуссии наверно не получится.

[незваный гость]

Не возражаем.

[PSP]

незваный гость писал(а):

Не возражаем.

Ждём с нетерпением..Это математ. блокбастер! Цирк на мозгах!

[cepesh]

Я рекомендую 5 раз подумать прежде. Может, лучше эти 2 (3, 4, 5...) часа в день потратить на семью? Или на работу в саду/по дому, чтение книг? Ну или хотя бы начните сразу же выплачивать Someone зарплату.

[Сорокин Виктор]

Г-н Cepesh, две несущественные описки давно исправлены. Вы видите что-то еще?

Сорокин Виктор писал(а):

И одна такая идея нашлась.

Вот суть идеи:

Очевидно (что было многократно показано ранее), любое уравнение простой степени $n$ легко приводится к виду:
1°. $B^n=C^n-A^n, где C^n-A^n =(C-A)R=(C-A)r^n$ [или $B^n=(C-A)nr^n$ – если $B$ кратно $n$],
где простое $n>2$, $n<B<A<C, 2^n<C-A<r$, числа $A$, $C$, $C-A$, $C+A$ и $r$ взаимопростые, $r$ нечетно.

Допустим, что существует целочисленное решение системы уравнений 2°:
$ \left\{ \begin{array}{l} Cx-ry=1,\\ Au-rv=-1,\\ x=u (=d). \end{array} \right. $
И тогда невозможность равенства $(dB)^n=(ry+1)^n-(rv-1)^n$ очевидна.

Дело стало за «немногим» - за обеспечением условий, при которых указанная система уравнений имеет решение. В общем виде эта система имеет вид:
$ \left\{ \begin{array}{l} Au-sv=f,\\ Au-rv=-1,\\ x=u (=d). \end{array} \right. $
Интересных претендентов на роль чисел $s$, $e$ и $f$ большое множество. Они будут рассматриваться постепенно.

Первоочередные кандидаты на роль числа $s$:
$C-A, C+A, C^n-A^n$ и его $R, C^n+A^n$ и его $R, $ и их сомножители.

Аномалии (интересные и подозрительные моменты):
Для случая $s=r, e=1$ число $f$ не есть 1, но в $n$-й степени и в базе $r$ оканчивается на 1. Таким образом, в базе $r$ для каждой ненулевой последней цифры числа $e$ существуют четыре таких цифры, что в $n$-й степени они оканчиваются на $e$. Не удивительно ли? И не здесь ли зарыта собака?
==================
И еще:
Допустим, что существует целочисленное решение системы уравнений 2°:
$ \left\{ \begin{array}{l} Cx-ry=1,\\ Au-rv=1,\\ x=u (=d). \end{array} \right. $

И тогда равенство Ферма $(dB)^n=(ry+1)^n-(rv+1)^n$ непротиворечиво (по меньшей мере относительно r).
НО: решение системы 2° не целочисленно: так как из $\frac {\ ry+1} C=\frac {\ rv+1} A$ следует $Ary+A = Crv+C$, или $(Ay-Cv)r=C-A$, где $C-A$ и $r$ взаимопростые!
Не является ли это обстоятельство достаточным для доказательства ВТФ?

+++

И вот последняя мысль:
После уможения равенства Ферма на $x^n$ и, следовательно, чисел $a$, $b$, $c$ на $x$ из решения первого уравнения в системе 2° мы имеем:
$u=x$ и, следовательно (поскольку последняя система 2° целочисленного решения не имеет), число $v$ не является целым. Кроме того, очень интересным является и соотношение между $x$ и $y$.

[Сорокин Виктор]

Сорокин Виктор писал(а):

Аномалии (интересные и подозрительные моменты):
Для случая $s=r, e=1$ число $f$ не есть 1, но в $n$-й степени и в базе $r$ оканчивается на 1. Таким образом, в базе $r$ для каждой ненулевой последней цифры числа $e$ существуют четыре таких цифры, что в $n$-й степени они оканчиваются на $e$. Не удивительно ли? И не здесь ли зарыта собака?

Похоже, что «собака» зарыта именно здесь. И я надеюсь порадовать моих болельщиков интересной находкой – фантастической теоремой:

Пусть $r$ – отличный от нуля простой делитель числа $R= \frac {\ C^n-A^n} {\ C-A}$,
где простое $n>2$, целые числа $A$, $C$, $C-A$, $C+A$ и $r$ взаимопростые. Тогда

ЛЕММА: $n$-я степень каждой позитивной цифры в базе $r$ оканчивается на 1 (!!!).

Тогда сумма $S$ $n$-х степеней всех цифр в базе $r$ оканчивается на $r-1$.
С другой стороны, при обычном подсчете суммы $S$ она оканчивается на $0$, т.к. кратна $r$.
И противоречие налицо.

Простенькое, но весьма очаровательное доказательство Леммы будет представлено в ближайшее время.

[Someone]

Господи, Виктор, я уж так было обрадовался, что Вы бросили заниматься ерундой, а Вы меня так огрчили...

Сорокин Виктор писал(а):

Интересных претендентов на роль чисел $s$, $e$ и $r$ большое множество.

Это очень мягко сказано. "Претендентов" - как "интересных", так и совершенно "не интересных" - столько, что Вы их будете проверять до конца света. Лучше не начинайте.

Добавлено спустя 11 минут 23 секунды:

Сорокин Виктор писал(а):

И я надеюсь порадовать моих болельщиков интересной находкой – фантастической теоремой:

Пусть $r$ – отличный от нуля простой делитель числа $R= \frac {\ C^n-A^n} {\ C-A}$,
где простое $n>2$, целые числа $A$, $C$, $C-A$, $C+A$ и $r$ взаимопростые. Тогда

ЛЕММА: $n$-я степень каждой позитивной цифры в базе $r$ оканчивается на 1 (!!!).

$$\frac{17^7-12^7}{17-12}=421\cdot 177913$$

$$12^7\equiv 77\pmod{421}$$

"Теорема" на самом деле фантастическая.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Господи, Виктор, я уж так было обрадовался, что Вы бросили заниматься ерундой, а Вы меня так огрчили...

Во-первых, я рад, что Вы живы-здоровы и в рабочем состоянии.
Во-вторых, наблюдать и выискивать интересное – не ерунда, а выискивать самому интереснее, чем брать готовое.

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Интересных претендентов на роль чисел $s$, $e$ и $r$ большое множество.

Это очень мягко сказано. "Претендентов" - как "интересных", так и совершенно "не интересных" - столько, что Вы их будете проверять до конца света. Лучше не начинайте.

До конца света – если рассматривать их в порядке простого перебора. Однако всегда существуют предпочтения, основанные на некоторых признаках.

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

И я надеюсь порадовать моих болельщиков интересной находкой – фантастической теоремой:
Пусть $r$ – отличный от нуля простой делитель числа $R= \frac {\ C^n-A^n} {\ C-A}$,
где простое $n>2$, целые числа $A$, $C$, $C-A$, $C+A$ и $r$ взаимопростые. Тогда
ЛЕММА: $n$-я степень каждой позитивной цифры в базе $r$ оканчивается на 1 (!!!).

$$\frac{17^7-12^7}{17-12}=421\cdot 177913$$

$$12^7\equiv 77\pmod{421}$$

"Теорема" на самом деле фантастическая.

Да, Вы правы, но и моя теорема не лишена оснований. Вот пример для $r=5$ после преобразования последней цифры $C$ в $1$. Допустим также, что $A$ оканчивается на $2$.
Итак, $(…1)^n-(…2)^n$ оканчивается на ноль. Следовательно, $(…2)^n$ оканчивается на $1$.
Умножим A, B, C$ на $2$. Теперь $C^n-A^n=(…2)^n-(…4)^n$. Следовательно, $(…4)^n$ оканчивается на $1$.
Затем умножим новые A, B, C$ на $2$. Теперь $C^n-A^n=(…4)^n-(…3)^n$. Следовательно, $(…3)^n$ оканчивается на $1$.
Таким образом, $1^n, 2^n, 3^n, 4^n$, т.е. каждая позитивная цифра в базе $r=5$ в $n$-й степени оканчивается на $1$.
(Значение $B=…4$ при $C=…1$ запрещено условиями Леммы.)
Таким образом, исследование предложенной идеи с Леммой прекращать преждевременно.

[Сорокин Виктор]

++++++++++++++
Еще пример для $r=7, C=1, B=3$.
Итак, $(…1)^n-(…3)^n$ оканчивается на ноль. Следовательно, $(…3)^n$ оканчивается на $1$.
Умножим A, B, C$ на $3$. Теперь $C^n-A^n=(…3)^n-(…2)^n$. Следовательно, $(…2)^n$ оканчивается на $1$.
Затем умножим новые A, B, C$ на $3$. Теперь $C^n-A^n=(…2)^n-(…6)^n$. Следовательно, $(…3)^n$ оканчивается на $1$.
Затем умножим новые A, B, C$ на $3$. Теперь $C^n-A^n=(…6)^n-(…4)^n$. Следовательно, $(…3)^n$ оканчивается на $1$.
Затем умножим новые A, B, C$ на $3$. Теперь $C^n-A^n=(…4)^n-(…5)^n$. Следовательно, $(…3)^n$ оканчивается на $1$.

Таким образом, $(…1)^n, (…2)^n, (… 3)^n, (…4)^n, (…5)^n, (…6)^n $, т.е. каждая позитивная цифра в базе $r=7$ в $n$-й степени оканчивается на $1$.

Разве не интересно, что одно и то же число $S$ И делится на $r$, и НЕ делится?

[PAV]

PAV:

Тема закрыта и возвращена из карантина