Сравнение меры Жордана и Лебега.

[antonio.troitsky]

Знакомлюсь с теорией меры по учебнику Толстова. Появился ряд вопросов.

1) Не совсем понятно почему мера Жордана не является счетно-аддитивной. Толстов ее вводит следующим образом:

"Пусть 1) мера $\mu$ задана на кольце $M$, 2) $ \overline{\mu}$ - продолжение меры $\mu$ с кольца $M$ на кольцо $\overline{M}$ оп схеме древних греков. При этом говорят, что $\mu$ есть продолжение меры $\mu$ c кольца $M$ на кольцо $\overline{M}$ по схеме Жордана."

Под схемой древних греков понимается то, что мера некоторого множества определяется равенством ее внутренней и внешней меры.

При этом гораздо позже при введении меры Лебега. Обговаривая особенности меры Лебега вскользь, упоминается, что мера Жордана является конечно-аддитивной.

[ewert]

antonio.troitsky в сообщении #573284 писал(а):

1) Не совсем понятно почему мера Жордана не является счетно-аддитивной.

Начнём с того, что: а с какой стати ей оказаться счётно-аддитивной?...

Стандартный контрпример: если бы она была счётно-аддитивной, то мера множества рациональных точек должна была бы равняться нулю, поскольку это множество счётно. Однако же внешняя (по Жордану) мера этого множества -- очевидно ненулевая.

[antonio.troitsky]

ewert в сообщении #573290 писал(а):

antonio.troitsky в сообщении #573284 писал(а):

1) Не совсем понятно почему мера Жордана не является счетно-аддитивной.

Начнём с того, что: а с какой стати ей оказаться счётно-аддитивной?...

Стандартный контрпример: если бы она была счётно-аддитивной, то мера множества рациональных точек должна была бы равняться нулю, поскольку это множество счётно. Однако же внешняя (по Жордану) мера этого множества -- очевидно ненулевая.

Вспоминается сразу канонический пример об множестве $E$ точек квадрата $Q=\{(x,y): 0 \leqslant x \leqslant 1, 0\leqslant y \leqslant 1\}$, координаты которых рациональны, заведомо не входит в класс измеримых по Жордану, так как для него внутренняя и внешняя мера не совпадают. Т.е. внутренняя равна 0, а внешняя равна 1.

Но! Мне тогда не понятно каким образом выбираются множества, которыми необходимо "покрыть" множество $E$, т.е. ясно что внешняя мера это как бы минимальное наименьшее множество содержащее множество $E$. Но почему бы не взять объединение счетного числа маленьких множеств которые покрыли бы каждую рациональную точку из множества $E$. Потом можно устремить диаметры этих множеств к нулю, но чтобы они обязательно содержали точки из $E$. Например можно рассмотреть кольцо $K$ всех ограниченных подмножеств множества $E$. Из $K$ и будут черпаться те множества, которыми будет покрываться множество $E$.

[ewert]

antonio.troitsky в сообщении #573306 писал(а):

Но почему бы не взять объединение счетного числа маленьких множеств которые покрыли бы каждую рациональную точку из множества $E$.

Потому, что для меры Жордана это недопустимо -- в ней при определении внешней меры (как и внутренней) допускаются лишь конечно-прямоугольные области. Если же допустить счётные объединения, то возникают проблемы с замкнутостью этой меры даже относительно дополнений.

В конструкции Лебега эти проблемы снимаются автоматически тем, что внешняя мера определяется через внутреннюю меру дополнения.

[antonio.troitsky]

ewert в сообщении #573318 писал(а):

antonio.troitsky в сообщении #573306 писал(а):

Но почему бы не взять объединение счетного числа маленьких множеств которые покрыли бы каждую рациональную точку из множества $E$.

Потому, что для меры Жордана это недопустимо -- в ней при определении внешней меры (как и внутренней) допускаются лишь конечно-прямоугольные области. Если же допустить счётные объединения, то возникают проблемы с замкнутостью этой меры даже относительно дополнений.

В конструкции Лебега эти проблемы снимаются автоматически тем, что внешняя мера определяется через внутреннюю меру дополнения.

1) Вы не могли бы поподробнее пояснить. В книге Толстова про прямоугольники ничего не упоминается. Используется более общий подход, как я уже описывал выше. Задана некоторая мера на кольце, после этого вводится продолжение меры на другое кольцо по схеме древних греков. Ни про какие прямоугольники как видите тут речи нет! А то что исходное множество является кольцом позволяет в общем случае рассмотреть множество всех ограниченных подмножеств некоторого множества.

2) Конечные прямоугольные области. Что вы имеете ввиду? Что их количество конечно?

3) Проблема замкнутости относительно дополнений. В смысле если рассмотреть ограниченное множество и системы все подмножеств данного множества, то почему не будет замкнутости этой меры относительно дополнений?

Мне кажется мне не хватает наглядных примеров. Может есть ответ в какой-нибудь конкретной книге с хорошими примерами, и которые дают сравнения одной и второй меры?

[ewert]

antonio.troitsky в сообщении #573482 писал(а):

Задана некоторая мера на кольце,

Но ведь как-то же конкретно на хоть каком-то кольце она должна же быть задана. Ну так она конкретно и стандартно и задаётся на объединениях конечных количеств прямоугольников. Можно, конечно, и на конечных многогранниках; только суть дела от этого нисколько не изменится, разве что изложение зануднее станет.

[antonio.troitsky]

ewert в сообщении #573491 писал(а):

antonio.troitsky в сообщении #573482 писал(а):

Задана некоторая мера на кольце,

Но ведь как-то же конкретно на хоть каком-то кольце она должна же быть задана. Ну так она конкретно и стандартно и задаётся на объединениях конечных количеств прямоугольников. Можно, конечно, и на конечных многогранниках; только суть дела от этого нисколько не изменится, разве что изложение зануднее станет.

Ну хорошо. Если рассмотреть отрезок [0,1]. Мера Жордана множества $E = \{0, 1/2, 1 \}$ чему будет равна?

[ewert]

antonio.troitsky в сообщении #573496 писал(а):

Мера Жордана множества $E = \{0, 1/2, 1 \}$ чему будет равна?

А вот это потом, битте зеер, сперва же определите хоть какую меру на хоть каком кольце.

(это я не к Вам, а к Толстову; я хоть Пастернака и не читал, но в Вашем изложении он явно жульничает)

[antonio.troitsky]

ewert в сообщении #573503 писал(а):

antonio.troitsky в сообщении #573496 писал(а):

Мера Жордана множества $E = \{0, 1/2, 1 \}$ чему будет равна?

А вот это потом, битте зеер, сперва же определите хоть какую меру на хоть каком кольце.

(это я не к Вам, а к Толстову; я хоть Пастернака и не читал, но в Вашем изложении он явно жульничает)

ну хорошо, мера для интервалов, отрезков и полуинтервалов $\mu(a,b) = b -a$.

[ewert]

Ну это уже более-менее конкретно. Хорошо. Ну и как Вы (пардон, Толстов) собираетесь продолжать эту меру на некую сигма-алгебру?...

А ведь надобно.

[antonio.troitsky]

ewert в сообщении #573542 писал(а):

Ну это уже более-менее конкретно. Хорошо. Ну и как Вы (пардон, Толстов) собираетесь продолжать эту меру на некую сигма-алгебру?...

А ведь надобно.

В смысле, а в чем проблема?