Движение в центральном непотенциальном поле

[scwec]

Точка единичной массы движется по плоскости в центральном поле сил $Q_{\varphi}=0$, $Q_r=\frac{f(\varphi)}{r^3}$, где $\varphi,r$ - полярные координаты и $r=0$ - центр действия сил, $f(\varphi)$ - гладкая $2\pi$ периодическая функция.
Напишем уравнения движения в фазовом пространстве с координатами $\varphi,r,p_r,p_{\varphi}$
$\dot \varphi=\frac{p_{\varphi}}{r^2}$, $\dot r=p_r$, $\dot p_r=Q_r+\frac{p_{\varphi}^2}{r^3}$, $\dot p_{\varphi}=Q_\varphi$. Очевидно, $p_\varphi$ - первый интеграл уравнений движения.
Вопросы.
Чему может быть диффеоморфна трехмерная поверхность уровня $p_\varphi=\operatorname{const}$?
Докажите, что на этой поверхности уровня можно ввести псевдориманову метрику, инвариантную относительно уравнений движения.

[scwec]

Хочу обратить внимание на содержательную сторону этой темы.
А именно. Фазовое пространство $\mathbb{R}^4$ динамической системы, которая не является интегрируемой, расслоено на трехмерные гладкие многообразия, которые допускают псевдориманову метрику, и среди геодезических этой метрики находятся интегральные кривые рассматриваемой динамической системы.
Первый интеграл $p_\varphi=c$. Будем полагать - и далее везде, что $c\ne0$. Топологическая (и гладкая) структура поверхностей уровня сразу становится понятной, если на плоскости движения перейти к декартовым координатам $q_1,q_2$. Соответствующие импульсы $p_1,p_2$ и
$p_\varphi=p_1{q_2}-p_2{q_1}$. Поверхности уровня $p_1{q_2}-p_2{q_1}=c\ne0$ являются гладкими многообразиями и диффеоморфны $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}^2$.
Рассмотрим в фазовом пространстве три гладких векторных поля
$X_1=p_r{\frac{\partial}{\partial{r}}}+\frac{p_\varphi}{r^2}\frac{\partial}{\partial\varphi}+\frac{f(\varphi)+{p_\varphi}^2}{r^3}\frac{\partial}{\partial{p_r}}$. Это векторное поле - уравнения движения.
$X_2=r\frac{\partial}{\partial{r}}-p_r{\frac{\partial}{\partial{p_r}}}$
$X_3=r\frac{\partial}{\partial{p_r}}$
Коммутаторы $[X_1,X_2]=2X_1, [X_1,X_3]=-X_2, [X_2,X_3]=2X_3$
Все три поля касаются поверхностей уровня, линейно независимы в каждой точке и порождают над $\mathbb{R}$ алгебру Ли $sl_2{(R)}$
Инвариантную псевдориманову структуру можно ввести теперь следующим образом.
На поверхности уровня $p_\varphi=c\ne0$ определяются дуальные формы $\omega^i$, $\omega^i(X_j)=\delta{_j}^{i}$, $i,j=1,2,3$
$\Omega=\sum_{ij=1}^3{a_{ij}}{\omega^i}{\omega^j}$ и $a_{ij}=\operatorname{tr}(ad_{X_i}\cdot{ad_{X_j}})$
Проведя необходимые вычисления находим, что $a_{22}=8, a_{13}=4, a_{31}=4$. Все остальные $a_{ij}$ равны нулю.
Таким образом, $\Omega=(\omega^2)^2+{\omega^1}{\omega^3}$.(Восьмерку сократили) Очевидно, $\Omega$ невырождена и имеет сигнатуру $(+ + -)$.
Кроме того, проверяется вычислением, что $L_{X_i}(\Omega)=0$ для $i=1,2,3$, где $L$ - производная Ли.
Таким образом, геодезическими введенной псевдоримановой структуры $\Omega$ на $p_\varphi=c$ являются интегральные кривые полей
$X={b_1}{X_1}+{b_2}{X_2}+{b_3}{X_3}$, где $b_i$ - вещественные числа. (Отсюда, кстати, следует, что в нашем случае самопересекающаяся геодезическая является замкнутой кривой).

А теперь вот какой вопрос. В выражении для $Q_r=\frac{f(\varphi)}{r^3}$ можно выбирать различные $f(\varphi)$. Каждый раз будут меняться $X_1$ и $\Omega$. Поверхность же уровня остается всегда неизменной. Обозначим новое поле $\tilde X_1$. В каких случаях при изменении $f(\varphi)$ существует диффеоморфизм $\Psi$ поверхности уровня на себя, такой, что $d\Psi(X_1)=\tilde X_1$?

[svv]

scwec, очень интересно. То, о чем Вы рассказываете, понимаю процентов на 60.
Поясните, пожалуйста, такой момент.

scwec писал(а):

на этой поверхности уровня можно ввести псевдориманову метрику, инвариантную относительно уравнений движения.

scwec писал(а):

Фазовое пространство $\mathbb{R}^4$ динамической системы, которая не является интегрируемой, расслоено на трехмерные гладкие многообразия, которые допускают псевдориманову метрику

Это я понимаю.

scwec писал(а):

среди геодезических этой метрики находятся интегральные кривые рассматриваемой динамической системы

А это нет. Непонятно, каким образом интегральные кривые становятся геодезическими, даже при условии, что метрика инвариантна относительно сдвига вдоль соответствующего векторного поля. По-моему, это совершенно необязательно. Может быть, это верно в данном случае, тогда это замечательно. Но в общем -- это векторное поле будет только полем Киллинга для данной метрики, или, что то же, производная Ли от метрического тензора вдоль этого поля равна нулю, ну, и всё...

[Oleg Zubelevich]

Возможно глупый вопрос задам. А эта система в квадратурах интегрируется?

[scwec]

Для svv: Действительно, впрямую я это в тексте не доказываю. Но это справедливое утверждение.
То, что $X_1,X_2,X_3$ порождают алгебру Ли, играет главную роль в этом.
Оно справедливо и для более широкого класса систем.
Для Oleg Zubelevich: вопрос очень даже не глупый.
Нет, не интегрируется в квадратурах. Я хотел отдельно даже это обсудить. Коротко, попытка интегрировать приводит к уравнению Риккатти.
А оно, как известно - есть теорема Лиувилля на этот счет.

[svv]

Спасибо! Ну, в таком случае, прекрасно, что это ещё и геодезические.

[Oleg Zubelevich]

если есть инвариантная метрика то можно ввести инвариантную меру

[scwec]

Не вижу, как это обстоятельство может помочь интегрированию уравнений, если Вы об этом.
Конечно, они интегрируются при $f(\varphi)=\operatorname{const}$. Но это совсем тривиально.
Могу предложить следующую задачу. Очень может помочь для лучшего понимания проблемы.
Пусть известна гладкая функция $V$ на $\mathbb{R}^3$ такая, что $X_1(V)=1$, тогда для $X_1$ квадратурами находится первый интеграл. Причем это относится к любой системе гладких линейно независимых полей $X_1,X_2,X_3$ на $\mathbb{R}^3$, порождающих $sl_2(R)$. Коммутаторы прежние.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #532615 писал(а):

Не вижу, как это обстоятельство может помочь интегрированию уравнений, если Вы об этом.

нет я не об этом.
Вот если б на уровне этого первого интеграла нашлись компактные инвариантные множества ненулевой меры на которых система эргодична, было бы очень интересно. Сейчас тоже, конечно, интересно.

[scwec]

1.Поскольку, возможно, осталось непонятым почему геодезические являются интегральными кривыми линейных комбинаций полей $X_1,X_2,X_3$, привожу доказательство.
Удобно для этого использовать в качестве уравнений геодезических уравнения Пуанкаре в квазикоординатах.
Введем параметры Пуанкаре (линейные формы скоростей): $\eta^i=\frac{\omega^i}{dt}$, $i=1,2,3$, квадратичную форму $T=(\eta^2)^2+{\eta^1}{\eta^3}$. Тогда уравнения Пуанкаре запишутся так:
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial{T}}{\partial{\eta^i}})=L_{X_i}(T)$.
Правая часть уравнений Пуанкаре всегда есть $L_{X_i}(T)$ и я не выписываю её в сложном классическом виде. Ранее установлено,что $L_{X_i}(\Omega)=0$.
Отсюда $\frac{d}{dt}(\frac{\partial{T}}{\partial{\eta^i}})=0$ для всех $i$.
Таким образом уравнения геодезических в нашем случае есть $\eta^1=c_1, \eta^2=c_2, \eta^3=c_3$, где $c_i$ - вещественные числа. Зафиксируем $c_i$ и рассмотрим поле $c_1{X_1}+c_2{X_2}+c_3{X_3}$. В любой точке нашей поверхности уровня вектор этого поля является касательным вектором к геодезической(соответствующей параметрам $c_i$). Соответственно интегральные кривые этого поля совпадают с геодезическими.
2. Теперь относительно инвариантной меры. По-моему хорошая мысль.
Действительно, 3-форма $\omega={\omega^1}\wedge{\omega^2}\wedge{\omega^3}$ является инвариантной. $L_{X_1}(\omega)=0$. Более того, эта форма точная. $\omega=d(\frac{p_r}{r}{\omega^1}\wedge{\omega^2})$. Надо подумать, что с этим можно сделать.

[scwec]

Вычислим класс Годбийона-Вея для слоения $\omega^3=0$ на $p_\varphi=\operatorname{const}$ т.е. на $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}^2$.
Касательные плоскости к слоям порождены полями $X_1,X_2$.
Уравнения Маурера-Картана для форм $\omega^i$:
$d\omega^3=-\omega^2\wedge{\omega^3}$
$d\omega^2=\frac{1}{2}\omega^1\wedge{\omega^3}$
$d\omega^1=-\omega^1\wedge{\omega^2}$.
Из первой и второй строчек формул следует, что форма Годбийона-Вея Г$=\omega^2\wedge{d\omega^2}=-\frac{1}{2}\omega^1\wedge{\omega^2}\wedge{\omega^3}$.
Из предыдущего сообщения следует, что Г$=d(-\frac{p_r}{2r}\omega^1\wedge\omega^2)$.
Таким образом, Г точна и класс когомологий Годбийона-Вея равен нулю.
Это означает, что есть надежда на существование первого интеграла в целом общего для $X_1,X_2$.
Далее надо попытаться его вычислить.

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #532367 писал(а):

А эта система в квадратурах интегрируется?

Здесь можно поступить следующим образом. Поскольку $[X_1,X_2]=2X_1$, то $\omega^3=0$ порождает 2-слоение на $p_{\varphi}=c$, кроме того $X_2$ имеет два первых интеграла $\varphi$ и $rp_r$. Следовательно, общий для $X_1,X_2$ первый интеграл имеет вид $F=F(\varphi,rp_r)$.
Перейдя к переменным $\varphi,r,q=rp_r$ (якобиан преобразования равен $r>0$) и не переобозначая $X_1,X_2$, считая их ограничением на $p_\varphi=c$, имеем $X_1(\varphi)=\frac{c}{r^2}$, $X_1(q)=rX_1(p_r)+p_r{X_1(r)}=\frac{f(\varphi)+c^2+q^2}{r^2}$.
$X_1(F(\varphi,q))=\frac{c}{r^2}\frac{\partial{F}}{\partial\varphi}+\frac{f(\varphi)+c^2+q^2}{r^2}\frac{\partial{F}}{\partial{q}}$.
Следовательно, $F(\varphi,q)$ является первым интегралом системы $\dot \varphi=c, \dot q=f(\varphi)+c^2+q^2$
или уравнения Риккати $\frac{dq}{d\varphi}=\frac{f(\varphi)}{c}+c+\frac{q^2}{c}$.
В квадратурах решения таких уравнений не обязаны выражаться, а в целом первый интеграл, видимо, существует.