Рассмотрим интерполяцию функции
по её дискретным значениям
на равномерной сетке
,
,
- чётное количество нетривиальных отсчётов,
- период дискретизации.
На узлах интерполяции можно построить интерполяционный многочлен Лагранжа, который будет представлять собою многочлен степени
, график которого проходит через узлы интерполяции
:
Известно, что такой многочлен является единственным.
Построим также интерполирующую функцию на основе ряда Котельникова:
Используя разложение синуса в ряд Маклорена, базисную функцию Котельникова представим в виде степенного ряда, а с учётом этого представления и сам ряд Котельникова перепишем в виде степенного ряда:
При неограниченном увеличении количества отсчётов
обе рассмотренные интерполирующие функции являются степенными рядами - многочленами бесконечной степени и проходят через один и тот же набор точек на плоскости. В виду того, что многочлен, график которого проходит через заданный набор точек на плоскости, определён единственным образом имеем
То есть интерполирующая функция на основе многочлена Лагранжа при неограниченном увеличении количества отсчётов совпадает с интерполирующей функцией на основе ряда Котельникова, что выражает их ассимтотическую связь.
1. Можно ли рассматривать изложенное как доказательство ассимтотической связи многочлена Лагранжа и ряда Котельникова?
2. Имеются ли какие-либо ошибки или некорректности в приведённых соображениях?
3. Можно ли так:
Цитата:
... обе рассмотренные интерполирующие функции являются степенными рядами - многочленами бесконечной степени и проходят через один и тот же набор точек на плоскости. В виду того, что многочлен, график которого проходит через заданный набор точек на плоскости, определён единственным образом имеем ...
4. Где об этом можно прочитать?